Question

如圖所示，四個(gè)豎直的分界面間的距離分別為L、L和d，在分界面M₁N₁-M₃N₃之間存在水平向里的勻強(qiáng)磁場，在分界面M₂N₂-M₄N₄之間存在水平向左的勻強(qiáng)電場，一傾角為30°的光滑斜面，其上、下端P₁和P₂正好在分界面上．一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的小球在P₁點(diǎn)由靜止開始沿斜面下滑（電荷量不變），重力加速度為g．
（1）求小球運(yùn)動(dòng)到斜面底端P₂時(shí)的速度v大小
（2）已知小球離開斜面底端P₂后，做直線運(yùn)動(dòng)到分界面M₃N₃上的P₃點(diǎn)，求空間電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B．的大��；
（3）已知d足夠大，小球離開P₃點(diǎn)后將從P₄點(diǎn)再次經(jīng)過M₃N₃面，求P₃和P₄兩點(diǎn)間的距離h．

Answer 1

分析：（1）小球在斜面上下滑的過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可求滑至斜面底端的速度大小；
（2）根據(jù)小球做直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榇嬖诖艌龉手荒茏鰟蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，根據(jù)合力為零由平衡條件求解；
（3）離開P₃時(shí)，小球所受合力與速度方向垂直，故小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解P₃P₄兩點(diǎn)間的距離

解答：解：（1）小球在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)受重力支持力和洛倫茲力作用，因?yàn)橹С至�和洛倫茲力都速度方向垂直不做功，固合外力做即為重力做功，根�?jù)運(yùn)動(dòng)定理有：
mgLtan30°=

1

2

mv2-0
解得：v=

2 3 gL 3

（2）小球從P₂到P₃點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橹亓�和電場力均為恒力，而F_洛=qvB只能是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受合力為零，由平衡條件有：
qE=qBvsin30°             ①
mg=qBvcos30°             ②
聯(lián)立①②解處：E=

3 mg

3q

，B=

m

q

2g 3 L

（3）由（2）分析知，從P₂到P₃點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，合力為零，因?yàn)槁鍌惼澚κ冀K與速度方向垂直，所以重力和電場力的合力與速度方向垂直．
所以小球從P₃到P₄點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在P₃點(diǎn)速度為v，沿P₂P₃方向做勻速運(yùn)動(dòng)，與此方向垂直的方向?yàn)閯蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，則：

小球做類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則有：

mg

cos30°

=ma
得a=

2g

3

hsin30°=vt
hcos30°=

1

2

at2
代入數(shù)據(jù)得：h=4

3

L
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到斜面底端P₂時(shí)的速度v=

2 3 gL 3

（2）已知小球離開斜面底端P₂后，做直線運(yùn)動(dòng)到分界面M₃N₃上的P₃點(diǎn)，求空間電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為B=

m

q

2g 3 L

；
（3）已知d足夠大，小球離開P₃點(diǎn)后將從P₄點(diǎn)再次經(jīng)過M₃N₃面，P₃和P₄兩點(diǎn)間的距離h=4

3

L．

點(diǎn)評：洛倫茲力始終與速度垂直，對粒子始終不做功，在重力場和電場以及磁場復(fù)合場中做直線運(yùn)動(dòng)，粒子只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)．能根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的條件判斷物體在電場和重力場作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)是解決本題的關(guān)鍵．