Question

18．CDE是固定在絕緣水平面上的光滑金屬導(dǎo)軌，CD=DE=L，∠CDE=60°，如圖甲所示．CD和DE單位長(zhǎng)度的電阻均為r₀，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根金屬桿MN（長(zhǎng)度大于L，材料與粗細(xì)與CDE相同）在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上勻速滑行．MN在滑行的過(guò)程中始終與CDE接觸良好，并且與C、E所確定的直線平行，以MN在D點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)．

（1）求MN滑行到C、E兩點(diǎn)時(shí)，C、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_CD；
（2）推導(dǎo)MN在CDE上滑行的過(guò)程中，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系表達(dá)式；
（3）在運(yùn)動(dòng)學(xué)中我們學(xué)過(guò)：通過(guò)物體運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間的關(guān)系圖線（v-t圖）可以求出物體運(yùn)動(dòng)的位移x，如圖乙中物體在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移在數(shù)值上等于梯形Ov₀Pt₀的面積．通過(guò)類比我們可以知道：如果畫出力與位移的關(guān)系圖線（F-x圖），也可以通過(guò)圖線求出力對(duì)物體所做的功．請(qǐng)你推導(dǎo)MN在CDE上滑動(dòng)過(guò)程中，MN所受安培力F與MN的位移x的關(guān)系表達(dá)式，并用F與x的關(guān)系圖線求出MN在CDE上滑行的整個(gè)過(guò)程中，MN和CDE構(gòu)成的回路所產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 MN切割磁感線，運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，應(yīng)用閉合電路歐姆定律求出C、D兩點(diǎn)電勢(shì)差的大小；
設(shè)MN運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，滑出位置圖象，根據(jù)幾何關(guān)系求出回路的長(zhǎng)度和電阻．再求出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系表達(dá)式；
從安培力的表達(dá)式出發(fā)求出安培力與位移的關(guān)系，通過(guò)關(guān)系表達(dá)式畫出F-x圖，從而求出功，根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律求出回路所產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）MN滑行到C、E兩點(diǎn)時(shí)，在回路中的長(zhǎng)度等于L，此時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv₀
由于MN的電阻忽略不計(jì)，CD和DE的電阻相等，
所以C、D兩點(diǎn)電勢(shì)差的大小為：U=$\frac{1}{2}$E=$\frac{1}{2}$BLv₀
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到如圖所示位置，

此時(shí)桿在回路中的長(zhǎng)度l=2v₀ttan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀t    
電動(dòng)勢(shì)E=Blv₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bv₀²t  
（3）在第（2）題圖示位置時(shí)，回路中的電阻R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$r₀v₀t    
回路中的電流I=$\frac{B{v}_{0}}{2{r}_{0}}$，即回路中的電流為一常量．
此時(shí)安培力的大小F_安=BIL=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}^{2}}{3{r}_{0}}$t
由于MN在CDE上滑動(dòng)時(shí)的位移x=v₀t
所以F_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3{r}_{0}}$x
所以安培力的大小隨位移變化的圖線（F_安-x圖）如圖所示，

所以MN在CDE上的整個(gè)滑行過(guò)程中，安培力所做的功為：W_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$
根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q等于安培力所做的功，即：Q=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$
答：（1）MN滑行到C、E兩點(diǎn)時(shí)，C、D兩點(diǎn)電勢(shì)差的大小為$\frac{1}{2}$BLv₀ ；
（2）回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系表達(dá)式為E=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Bv₀²t；  
（3）MN所受安培力F_安與MN的位移x的關(guān)系表達(dá)式F_安=$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{0}}{3{r}_{0}}$x，MN和CDE構(gòu)成的回路所產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{\sqrt{3}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{8{r}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 關(guān)于回路中電阻要看清題目，有的導(dǎo)軌計(jì)電阻，有的不計(jì)．根據(jù)物理規(guī)律求出物理量之間的關(guān)系，從而畫出圖象．