Question

16．一輕繩跨過兩個等高的輕定滑輪（不計大小和摩擦），兩端分別掛上質量為m₁=4kg和m₂=2kg的物體，如圖所示，在滑輪之間的一段繩上懸掛物體m，為使三個物體能保持平衡，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 C物體處于平衡狀態(tài)，受力平衡，對C受力分析，根據力的平衡列出等式，式子中變量較多，我們從消元開始解題，由兩式變形可以消去θ₂，把要求的變量用含有θ₁的式子表達，根據三角函數的特點，得到結果．

解答 解：方法一：平衡時，O點受力如圖所示

在豎直方向上建立方程：T₁cos θ₁+T₂cos θ₂=T=mg，
在水平方向上有：T₁sin θ₁=T₂sin θ₂，
將T₁=m₁g=40 N，T₂=m₂g=20 N代入得：
4cos θ₁+2cos θ₂=m，2sin θ₁=sin θ₂
所以m=4$\sqrt{1-\frac{1}{4}si{n}^{2}{θ}_{2}}$+2cos θ₂
進行如下討論：
當θ₂=0°時，m最大m_max=6 kg，
當θ₂=90°，m最小m_min=2$\sqrt{3}$ kg，
因為θ₂=0°、θ₂=90°時取不到，
故m平衡時的取值范圍是2$\sqrt{3}$ kg＜m＜6 kg；
方法二：受力分析如圖所示

當T₁、T₂同向時，m_max=6 kg，
當T₂水平時，m_min=2$\sqrt{3}$ kg，
因為m_min、m_max取不到，故2$\sqrt{3}$ kg＜m＜6 kg．
答：m的取值范圍為2$\sqrt{3}$ kg＜m＜6 kg．

點評 本題也可以采用極值法，繩子的連接點三力平衡，其中重力方向豎直，兩個拉力的大小恒定，故要確定拉力合力范圍，但要考慮實際情況：①當θ₁與θ₂趨向于零時，m取最大值；②當較小的力趨向水平時，m取最小值．