Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，第一四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子．在兩板間加上如圖乙所示的周期性變化的電壓（不考慮極板邊緣的影響）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在2t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）（若tanθ=b，θ∈（-

π

2

，

π

2

），則θ=arctan b）
（1）求兩極板間電壓U₀的大�。�
（2）求t₀=0時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）首先求出電容器加有電壓時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，從而求出有電場(chǎng)時(shí)的加速度，把粒子的運(yùn)動(dòng)在豎直方向上分為兩段，先是勻加速運(yùn)動(dòng)，后是勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上，這兩段位移的和大小上等于板間距離的一半．列式即可求出電壓．
（2）當(dāng)t₀=0時(shí)，粒子進(jìn)入電場(chǎng)，根據(jù)已知條件求出離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)水平方向上的速度和豎直方向上的速度，即可求出和速度的大小，結(jié)合半徑公式即可求出在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，即為進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸的夾角最小的情況，當(dāng)在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最大時(shí)，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，畫出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何知識(shí)即可求出最短時(shí)間．

解答：解：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，2t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為

l

2

，則有：
E=

U0

l

…①
Eq=ma …②
 

l

2

=

1

2

a

t

2 0

+a

t

2 0

…③
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為：U0=

l2m

3q t 2 0

 …④
（2）t₀=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前t₀時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后t₀時(shí)間兩極板沒(méi)有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為：v0=

l

2t0

…⑤
帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為：v_y=at₀…⑥
帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小為：v=

v 2 x + v 2 y

…⑦
設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則有：Bqv=m

v2

R

…⑧
聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式解得：R=

40 13 ml

6qBt0

…⑨
（3）2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為：vy′=at0…⑩
設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為α，則：tanα=

v0

vy′

聯(lián)立③⑤⑩式解得：α=arctan1.5
粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖所示，圓弧所對(duì)的圓心角為：
2α=2arctan1.5
所求最短時(shí)間為：t=

2α

2π

T
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πm

qB

聯(lián)立以上兩式解得：tmin=

2marctan1.5

qB

（其實(shí)，在t₀到2t₀之間進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，都是最短．）
答：（1）求兩極板間電壓U₀的大小為

l2m

3q t 2 0

．
（2）求t₀=0時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

40 13 ml

6qBt0

．
（3）在t₀到2t₀之間進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，最短時(shí)間為

2marctan1.5

qB

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查到的知識(shí)點(diǎn)較多，首先是考察到了離子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，并且電場(chǎng)還是變化的，這就要求我們要有較強(qiáng)的過(guò)程分析能力，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段處理；還考察到了離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，要熟練的會(huì)用半徑公式和周期公式解決問(wèn)題；在解決粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題時(shí)，要注意偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題．是一道難度較大的題．