Question

7．在“極限”運動會中，有一個在鋼索橋上的比賽項目．如圖所示，總長為L=10m的均勻粗鋼絲繩固定在等高的A、B處，鋼絲繩最低點與固定點A、B的高度差為H₁=0.3m，動滑輪起點在A處，并可沿鋼絲繩滑動，鋼絲繩最低點距離水面也為H₂=3.2m．若質量為m的人抓住滑輪下方的掛鉤由A點靜止滑下，最遠能到達右側C點，C、B間鋼絲繩相距為L′=2m，高度差為h=0.1m．若參賽者在運動過程中始終處于豎直狀態(tài)，抓住滑輪的手與腳底之間的距離也為h，滑輪與鋼絲繩間的摩擦力大小視為不變，且摩擦力所做功與滑過的路程成正比，不計參賽者在運動中受到的阻力、滑輪（含掛鉤）的質量和大小，不考慮鋼索橋的擺動及形變．g取10m/s²．求：
（1）若參賽者要達到B點，則人在A點處抓住掛鉤時至少應具有的初動能；
（2）某次比賽規(guī)定參賽者須落在與鋼絲繩最低點水平相距為d=2m、寬度a=1.6m，厚度不計的海綿墊子上．參賽者在A點抓住掛鉤時應具有的初動能范圍．

Answer 1

分析 （1）從A點靜止滑下，最遠能滑到C點，可知C點的速度為0．對A到C過程運用動能定理，有重力做功，摩擦力做功，動能的變化為0，求出摩擦力．對A到B運用動能定理，重力不做功，摩擦力做負功，根據(jù)動能定理求出初動能．
（2）參賽者在鋼絲繩最低點脫鉤后，做平拋運動，根據(jù)平拋運動的水平位移4a≤x≤5a，求出最低點的速度范圍，然后對A到最低點運用動能定理，求出在A點初動能的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理，參賽者在A到C的過程中滿足：mgh-F_f（L-L′）=0
則滑輪受到的阻力：F_f=$\frac{mgh}{L-L′}$=$\frac{60×10×0.1}{10-2}$N=7.5N
初動能為：E_K=F_fL=7.5×10J=75J
（2）從最底松開掛鉤落到海綿墊上，所應具有的速度應為v，則：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=0.8s
最小速度為：v_min=$\fracylewchi{t}$=2.5m/s
最大速度為：v_max=$\frac{d+a}{t}$=4.5m/s
根據(jù)功能關系：E_K+mgH₁-F_f•$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
得：E_kmax=$\frac{1}{2}$mv²-mgH₁+F_f$\frac{L}{2}$=465J
同理得：E_kmin=45J
故：45J＜E_k＜465J
答：
（1）若參賽者要達到B點，則人在A點處抓住掛鉤時至少應具有的初動能為75J；
（2）某次比賽規(guī)定參賽者須在鋼絲繩最低點水平相距為d=2m、寬度a=1.6m，厚度不計的海綿墊子上．參賽者在A點抓住掛鉤時應具有的初動能范圍為45J＜E_k＜465J

點評 解決本題的關鍵是恰當?shù)剡x擇研究過程，根據(jù)動能定理W_合=△E_K進行求解，要注意挖掘隱含的臨界條件．