Question

1．如圖所示，將直徑為2R的半圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)的A、B兩點，直徑與豎直方向的夾角為60°，O為半圓形導(dǎo)軌的圓心，D為O點正下方導(dǎo)軌上的點．在導(dǎo)軌上套一質(zhì)量為m的小圓環(huán)，原長為2R、勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{8R}$的彈性輕繩穿過圓環(huán)且兩端固定在A、B兩點，已知彈性輕繩始終在彈性限度內(nèi)，重力加速為g，將圓環(huán)從A點正下方的C點由靜止釋放．
（1）如果導(dǎo)軌是光滑的，求圓環(huán)到達D點時的速度大小和導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力的大��；
（2）如果導(dǎo)軌是粗糙的，圓環(huán)與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，已知圓環(huán)運動到D點時恰好只有向心加速度，求圓環(huán)由C點運動到D點過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）從C到D過程，由機械能守恒定律可以求出圓環(huán)到達D點時的速度；圓環(huán)做圓周運動，由牛頓第二定律可以求出在D點導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力．
（2）如果導(dǎo)軌是粗糙的，圓環(huán)運動到D點時恰好只有向心加速度，沒有切向加速度，根據(jù)向心力公式和切向合力為零分別列式，求出D點的速度，再由動能定理求圓環(huán)由C點運動到D點過程中克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何知識得，圓環(huán)在C點、D點時，彈性繩形變量相同，彈性勢能相等．
圓環(huán)從C到D過程中，由機械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由幾何關(guān)系可知：h=$\frac{1}{2}$R
解得：v=$\sqrt{gR}$；
圓環(huán)在D點受力如圖，彈性繩的彈力：F=kx，其中：x=（$\sqrt{3}$-1）R
在D點，由牛頓第二定律得：
F_N+Fcos60°+Fsin60°-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=$\frac{15}{8}$mg；
（2）設(shè)圓環(huán)運動到D點的速度為v_D．
據(jù)題在D點切向合力為零，則有：
f+Fcos60°=Fsin60°
且Fcos60°+Fsin60°+F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
又 f=μF_N
從C到D，由動能定理得：mgh-W_f=$\frac{1}{2}$mv_D²
聯(lián)立以上四式解得：W_f=$\frac{11-2\sqrt{3}}{16}$mgR
答：
（1）圓環(huán)到達D點時的速度大小是$\sqrt{gR}$；導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力的大小是$\frac{15}{8}$mg；
（2）圓環(huán)由C點運動到D點過程中克服摩擦力做的功是$\frac{11-2\sqrt{3}}{16}$mgR．

點評 本題考查了求圓環(huán)的速率、軌道對圓環(huán)的作用力，應(yīng)用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；本題的難點，也是本題解題的關(guān)鍵是：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識氣促C、D兩點間的高度差、求出彈性繩的形變量．