Question

【題目】如圖1所示為平面坐標(biāo)系，在第一象限內(nèi)的虛曲線和軸之間存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為；在第二象限內(nèi)的虛直線（）和軸之間存在著如圖2所示的交變磁場(chǎng)（以垂直紙面向外為磁場(chǎng)的正方向）．在（，）點(diǎn)的放射源發(fā)出質(zhì)量為、帶電量為的粒子，粒子速度大小為，速度方向與軸負(fù)方向的夾角為（），所有粒子都能垂直穿過軸后進(jìn)入第二象限．不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用．

(1)求夾角的粒子經(jīng)過軸時(shí)的坐標(biāo)；

(2)求第一象限內(nèi)虛曲線的曲線方程；

(3)假設(shè)交變磁場(chǎng)在時(shí)刻，某粒子剛好經(jīng)過軸上的（，）點(diǎn)，則

①要求該粒子不回到第一象限，交變磁場(chǎng)的變化周期T應(yīng)滿足什么條件？

②要求該粒子在（，）點(diǎn)垂直虛直線水平射出磁場(chǎng)，求粒子在交變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與磁場(chǎng)變化周期的比值的最小值？并求出在這種情況下粒子在交變磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)①；②

【解析】

（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡半徑為，則：

解得：

，

如圖1所示，

當(dāng)入射角為時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可得：y軸坐標(biāo)

（2）如圖2所示，入射角為任意角，進(jìn)入磁場(chǎng)入射點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

得

（）

（3）①粒子不回到第一象限，臨界情況為軌跡與軸相切，如圖3所示；

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為，兩圓心連線與軸夾角為，則：

所以

且滿足

得

要求該粒子不回到第一象限，交變磁場(chǎng)的變化周期應(yīng)滿足

；

②粒子在交變磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與磁場(chǎng)變化的周期的比值為，即

如圖4所示

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

由于，所以最小等于，即

當(dāng)，如圖4所示，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間

當(dāng)β=120°時(shí)，如圖5所示，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間