Question

如圖所示，兩根相距為d的足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xy平面內(nèi)，一端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側(cè)存在沿垂直紙面方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B隨x的增大而增大，B=kx，式中的k是一常量，一金屬直桿與金屬導(dǎo)軌垂直，可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦的滑動(dòng)，當(dāng)t=0時(shí)位于x=0處，速度為v₀，方向沿x軸的正方向．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有一大小可調(diào)節(jié)的外力F作用于金屬桿以保持金屬桿的加速度恒定，大小為a，方向沿x軸的負(fù)方向．設(shè)除外接的電阻R外，所有其它電阻都可以忽略．
問(wèn)：（1）該回路中的感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間多長(zhǎng)？
?（2）當(dāng)金屬桿的速度大小為v₀/2時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)有多大？

Answer 1

分析：（1）回路中有感應(yīng)電流的時(shí)間是向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到零然后返回做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間．
（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出速度減為

1

2

v0經(jīng)過(guò)的位移，從而得出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小．

解答：解：（1）金屬桿在導(dǎo)軌上先是向右做加速度為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌右方最遠(yuǎn)處速度為零．然后，又沿導(dǎo)軌向左做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)過(guò)了原點(diǎn)O后，由于已離開(kāi)了磁場(chǎng)區(qū)，故回路中不再有感應(yīng)電流．因而該回路中感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間就等于金屬桿從原點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)處，再?gòu)淖钸h(yuǎn)處向左運(yùn)動(dòng)回到原點(diǎn)O的時(shí)間，這兩段時(shí)間是相等的．以t₁表示金屬桿從原點(diǎn)O到右方最遠(yuǎn)處所需的時(shí)間，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得　v₀-at₁=0，
?由上式解出t₁，就得知該回路中感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間　T=

2v0

a

．
?（2）以x₁表示金屬桿的速度變?yōu)関₁=

1

2

v₀時(shí)它所在的x坐標(biāo)，對(duì)于勻減速直線運(yùn)動(dòng)有
?v₁²=v₀²-2ax₁，
?以v₁=

1

2

v₀代入就得到此時(shí)金屬桿的x坐標(biāo)，即
?x₁=

3v02

8a

．
?由題給條件就得出此時(shí)金屬桿所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=

3kv02

8a

?因而此時(shí)由金屬桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
?E₁=B₀v₁l=

3kv03d

16a

．
答：（1）該回路中的感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間為

2v0

a

．
（2）回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

3kv03d

16a

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道回路中有感應(yīng)電流的過(guò)程，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．