Question

11．如圖所示，用同種材料制成的粗糙程度相同的斜面和長(zhǎng)水平面，斜面傾角為θ=37°，斜面長(zhǎng)L=20m且固定，當(dāng)一小物塊從斜面頂端以初速度v₀=2m/s沿斜面下滑，則經(jīng)過(guò)t₀=5s后小物塊停在斜面上，不考慮小物塊到達(dá)斜面底端時(shí)因碰撞損失的能量，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²）
（1）小物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）當(dāng)小物塊以初速度v沿斜面下滑，寫出物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最終停下的時(shí)間t與初速度v的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度時(shí)間公式求出物塊在斜面上的加速度大小，結(jié)合牛頓第二定律求出小物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2）根據(jù)速度我也公式求出物塊剛好停在斜面底端的速度，從而分析討論，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）在斜面上的加速度為：${a}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}=\frac{2}{5}m/{s}^{2}=0.4m/{s}^{2}$．
根據(jù)牛頓第二定律有：f-mgsinθ=ma₁，
N=mgcosθ，
得到：μ=$\frac{f}{N}=\frac{m{a}_{1}+mgsinθ}{mgcosθ}=\frac{0.4+10×0.6}{10×0.8}$=0.8．
（2）討論：
①若停在斜面上，當(dāng)恰好停在斜面底端時(shí)有：$v=\sqrt{2{a}_{1}L}=\sqrt{2{a}_{1}L}=\sqrt{2×0.4×20}$m/s=4m/s，
當(dāng)v≤4m/s時(shí)，物塊停在斜面上，有：t=$\frac{v}{{a}_{1}}=2.5v$，
②若停在水平面上，即v＞4m/s時(shí)，物體在水平面上的加速度為：${a}_{2}=\frac{μmg}{m}=μg=8m/{s}^{2}$，
物體達(dá)到底端的速度為：${v}_{1}=\sqrt{{v}^{2}-2{a}_{1}L}=\sqrt{{v}^{2}-2×0.4×20}$m/s=$\sqrt{{v}^{2}-16}$m/s，
在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{v-\sqrt{{v}^{2}-16}}{0.4}$，
物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{\sqrt{{v}^{2}-16}}{8}$，
總時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{v-\sqrt{{v}^{2}-16}}{0.4}+\frac{\sqrt{{v}^{2}-16}}{8}$=$\frac{20v-19\sqrt{{v}^{2}-16}}{8}$s．
物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最終停下的時(shí)間t與初速度v的函數(shù)關(guān)系式為：
t=2.5v（s）（v≤4m/s）
t=$\frac{20v-19\sqrt{{v}^{2}-16}}{8}$（s）（v＞4m/s）．
答：（1）小物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.8．
（2）物塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最終停下的時(shí)間t與初速度v的函數(shù)關(guān)系式為t=2.5v（s）（v≤4m/s）；t=$\frac{20v-19\sqrt{{v}^{2}-16}}{8}$（s）（v＞4m/s）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．對(duì)于第二問(wèn)需討論物塊是停止在斜面上還是停止在水平面上．