Question

2．如圖（甲）所示，兩個(gè)水平和傾斜光滑直導(dǎo)軌都通過(guò)光滑圓弧對(duì)接而成，相互平行放置，兩導(dǎo)軌相距L=lm，傾斜導(dǎo)軌與水平面成θ=30°角，傾斜導(dǎo)軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)I中，I區(qū)中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（乙）所示垂直斜面向上為正值，圖中t₁、t₂未知．水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，其左端接有理想靈敏電流計(jì)G（內(nèi)阻不計(jì)）和定值電阻R=3Ω，水平導(dǎo)軌處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)Ⅱ中，Ⅱ區(qū)中的磁場(chǎng)恒定不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=1T，在t=0時(shí)刻，從斜軌上磁場(chǎng)I區(qū)外某處垂直于導(dǎo)軌水平靜止釋放一金屬棒ab，棒的質(zhì)量m=0.1kg，棒的電阻r=2Ω，棒下滑時(shí)與導(dǎo)軌保持良好接觸設(shè)棒通過(guò)光滑圓弧前后速度大小不變，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．若棒在斜面上向下滑動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，靈敏電流計(jì)指針?lè)�(wěn)定時(shí)顯示的電流大小相等，t₂時(shí)刻進(jìn)入水平軌道，立刻對(duì)棒施一平行于框架平面沿水平且與桿垂直的外力．（g取10m/s²）求：

（1）ab棒進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)I時(shí)速度V的大��；
（2）磁場(chǎng)區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛好進(jìn)入水平軌道這段時(shí)間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q；
（4）若棒在t₂時(shí)刻進(jìn)入水平導(dǎo)軌后，電流計(jì)G的電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖（丙）所示（而未知），已知t₂到t₃的時(shí)間為0.5s，t₃到t₄的時(shí)間為1s，請(qǐng)?jiān)趫D（�。┲凶鞒鰐₂到t₄時(shí)間內(nèi)外力大小F隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖象．（從上向下看逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡�方向�?

Answer 1

分析 （1）電流表的示數(shù)保持不變，整個(gè)下滑過(guò)程中回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，可判斷出在t₁時(shí)刻棒剛好進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和安培力、歐姆定律、法拉第定律結(jié)合求解v；
（2）棒沒(méi)進(jìn)入磁場(chǎng)以前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出下滑的距離，由于棒進(jìn)入磁場(chǎng)后產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不變，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場(chǎng)區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）ab棒進(jìn)入磁場(chǎng)以前，由焦耳定律求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱．進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ的過(guò)程中，棒的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能量守恒求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱；
（4）根據(jù)圖線寫(xiě)出I-t′方程式，由歐姆定律I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$，得到速度與時(shí)間的表達(dá)式，即可求出加速度，由牛頓第二定律得到外力F與時(shí)間的關(guān)系式，作出圖象．

解答 解：（1）電流表的示數(shù)不變，說(shuō)明在整個(gè)下滑過(guò)程中回路的電動(dòng)勢(shì)是不變的，說(shuō)明在B變化時(shí)和不變時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小一樣，所以可以判斷在t₁時(shí)刻棒剛好進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動(dòng)．則
  mgsinθ-BIL=0．
又I=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$，E₁=BLv
代入數(shù)據(jù)得：V=2.5m/s
（2）沒(méi)進(jìn)入磁場(chǎng)以前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是：
a=gsin30°=5m/s²，v=at，t₁=0.5s
下滑的距離是：S₁=$\frac{1}{2}$at²=0.625m
在沒(méi)進(jìn)入磁場(chǎng)以前，由于B均勻變化，所以E₂=$\frac{△B}{△t}$•Ld
又E₁=BLv，
且 E₁=E₂
解得：d=0.625m
（3）ab棒進(jìn)入磁場(chǎng)以前，棒上產(chǎn)生的熱量為：Q₁=I²Rt₁=0.25J　　
取ab棒在斜軌磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為研究過(guò)程有：mgsinθ-Q₂=0
解得：Q₂=0.3125J  　
此時(shí)，棒上產(chǎn)生的總熱量為：Q_2r=$\frac{r}{R+r}$Q=0.125J 
則棒上產(chǎn)生的總熱量是：Q_r=Q₁+Q_2r=0.375J
（4）因?yàn)镋=BLV，所以剛進(jìn)水平軌道時(shí)的電動(dòng)勢(shì)是：E=2.5V，I₀=$\frac{BLv}{R+r}$=0.5A
取t₂時(shí)刻為零時(shí)刻，則根據(jù)圖線可以寫(xiě)出I-t′方程式　I=0.5-t′，
又I=$\frac{BLv}{R+r}$
則得 v=2.5-5 t′．所以a₁=5m/s²．
由牛頓第二定律得：F+BIL=ma₁．F+I=1，F(xiàn)=t′，畫(huà)出坐標(biāo)系．
t₃到t₄的時(shí)間為1s，取t₃時(shí)刻為零時(shí)刻，可寫(xiě)出t₃時(shí)刻后的I與時(shí)間的關(guān)系式，I″=0.5 t''，速度的表達(dá)式V″=2.5t″
則得棒運(yùn)動(dòng)的加速度大小a₂=2.5m/s²　
依牛頓第二定律有：
F-BIL=ma₂
代入上面的式子得F=0.25+0.5 t''畫(huà)在坐標(biāo)系里．

答：（1）ab棒進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)I時(shí)速度V的大小是2.5m/s；
（2）磁場(chǎng)區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d是0.625m；
（3）棒從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到剛好進(jìn)入水平軌道這段時(shí)間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q是0.375J；
（4）作出t₂到t₄時(shí)間內(nèi)外力大小F隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了法拉第定律、歐姆定律、焦耳定律及力學(xué)中牛頓第二定律等等多個(gè)知識(shí)，關(guān)鍵能把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律，有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力．