Question

19．宇航員成功登上半徑為R的某星球后，為粗測(cè)星球質(zhì)量，在該星球表面上固定一傾角為θ=30°的斜面，使小物塊以速度v₀從斜面底端沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，得到其往返的運(yùn)動(dòng)圖象如圖所示，若圖中t₀已知，且引力常量為G，試求：
（1）物塊回到斜面底端時(shí)速度大小v；
（2）該星球的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）物塊上滑和下滑的位移大小相等，v-t圖象與時(shí)間軸包圍的面積表示位移大小，據(jù)此列式求解物塊回到斜面底端時(shí)速度大��；
（2）對(duì)滑塊上滑過程和下滑過程根據(jù)牛頓第二定律列式，結(jié)合圖象得到上滑過程和下滑過程的加速度，聯(lián)立求解重力加速度；在地面，重力等于萬(wàn)有引力，據(jù)此列式；然后聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）由題意及圖象可知：$\frac{{v}_{0}•{t}_{0}}{2}=\frac{{v}_{\;}•2{t}_{0}}{2}$ 
解得：v=$\frac{1}{2}$v₀
（2）物塊向上滑動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有：mgsin30°+μmgcos30°=ma₁
其中：${a_1}=\frac{v_0}{t_0}$
物塊向下滑動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有：mgsin30°-μmgcos30°=ma₂
其中：${a_2}=\frac{v_0}{2×2t_0}$=$\frac{{v}_{0}}{4{t}_{0}}$
聯(lián)立解得：$g=\frac{5{v}_{0}}{4{t}_{0}}$
在星球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
聯(lián)立解得：$M=\frac{5{v}_{0}{R}^{2}}{4{t}_{0}G}$
答：（1）物塊回到斜面底端時(shí)速度大小v為$\frac{1}{2}$v₀；
（2）該星球的質(zhì)量為$\frac{5{v}_{0}{R}^{2}}{4{t}_{0}G}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力定律與動(dòng)力學(xué)的綜合，通過圖線得出加速度大小，結(jié)合牛頓第二定律求出重力加速度的大小是解決本題的關(guān)鍵．