Question

如圖甲所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xoy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)加有與xoy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在坐標(biāo)原點(diǎn)O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速為v₀的帶電粒子．已知重力加速度大小為g．

（1）當(dāng)帶電微粒發(fā)射裝置連續(xù)不斷地沿y軸正方向發(fā)射這種帶電微粒時(shí)，這些帶電微粒將沿圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑方向離開磁場(chǎng)，并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)．處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xoy平面內(nèi)不斷地以相同速率v₀沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入第1象限，如圖乙所示．現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng)，則在保證勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)的強(qiáng)度及方向不變的條件下，應(yīng)如何改變勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分布區(qū)域？并求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

（1）由題目中“帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)后，最終沿圓形磁場(chǎng)區(qū)域的水平直徑離開磁場(chǎng)并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)”可知，帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡．設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由平衡條件得：
mg=qE
∴E=

mg

q

電場(chǎng)方向沿y軸正方向
帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且圓運(yùn)動(dòng)半徑r=R．
設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．由牛頓第二定律得：
qv₀B=m

v02

R

∴B=

mv0

qR

磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外
（2）設(shè)由帶電微粒發(fā)射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，
則θ滿足0≤θ＜

π

2

，由于帶電微粒最終將沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，
故B應(yīng)垂直于xoy平面向外，帶電微粒在磁場(chǎng)內(nèi)做半徑為

mv0

qB

勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由于帶電微粒的入射方向不同，若磁場(chǎng)充滿紙面，
它們所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

為使這些帶電微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．
由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場(chǎng)．這樣磁場(chǎng)邊界上P點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）應(yīng)滿足方程：
x=Rsinθ，
y=R（1-cosθ），
所以磁場(chǎng)邊界的方程為：
x²+（y-R）²+R²
由題中0≤θ＜

π

2

的條件可知
以θ→

π

2

的角度射入磁場(chǎng)區(qū)域的微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡
（x-R）²+y²=R²
即為所求磁場(chǎng)的另一側(cè)的邊界．
因此，符合題目要求的最小磁場(chǎng)的范圍應(yīng)是圓
x²+（y-R）²=R²與圓（x-R）²+y²=R²的
交集部分（圖中陰影部分）．
由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場(chǎng)的最小面積為：
S_min=（

π

2

-1）

m2v02

q2B2

=（

π

2

-1）R²．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

mg

q

方向沿y軸正方向；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

mv0

qR

，方向垂直紙面向外．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分布區(qū)域如圖所示，求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為（

π

2

-1）R²．．