Question

13．如圖所示，摩托車做騰躍特技表演，沿曲面沖上高0.8m的頂部水平高臺，接著以v=3m/s的水平速度離開平臺，落至地面時，恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑．A、B為圓弧兩端點，其連線水平．已知圓弧半徑為R=1.0m，人和車的總質(zhì)量為200kg，特技表演的全過程中，阻力忽略不計．（計算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：

（1）從平臺飛出到A點，人和車運動的水平距離s．
（2）從平臺飛出到達A點時速度．
（3）圓弧對應圓心角θ．
（4）已知人和車運動到圓弧軌道最低點O時，速度v′為$\sqrt{33}$m/s，求此時人和車對軌道的壓力的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運動的時間，結(jié)合初速度和時間求出水平距離．
（2）根據(jù)速度時間公式求出A點的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出A點的速度．
（3）根據(jù)平行四邊形定則求出落地速度方向與水平方向的夾角，結(jié)合幾何關系求出圓弧對應的圓心角．
（4）根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對人和車的支持力，從而得出人和車對軌道的壓力大�。�

解答 解：（1）由$H=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，s=vt₂可得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
s=$v\sqrt{\frac{2H}{g}}=3×\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}m=1.2m$．
（2）摩托車落至A點時，其豎直方向的分速度v_y=gt₂=10×0.4m/s=4m/s
到達A點時速度 ${v}_{A}=\sqrt{{v}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}m/s=5m/s$．
（3）設摩托車落地時速度方向與水平方向的夾角為α，則
$tanα=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{4}{3}$，即α=53°
所以θ=2α=106°
（4）在0點：$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$    
代入數(shù)據(jù)解得N=8600N
由牛頓第三定律可知，人和車在最低點O時對軌道的壓力為8600N．
答：（1）從平臺飛出到A點，人和車運動的水平距離s為1.2m．
（2）從平臺飛出到達A點時速度為5m/s．
（3）圓弧對應圓心角θ為106°．
（4）此時人和車對軌道的壓力的大小為8600N．

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動的基本運用，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．