Question

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，在D處沿圖示方向以一定的速度射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，此磁場(chǎng)方向是垂直紙面向里．結(jié)果離子正好從距A點(diǎn)為d的小孔C沿垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，此電場(chǎng)方向與AC平行且向上，最后離子打在G處，而G處距A點(diǎn)2d（AG⊥AC）．不計(jì)離子重力，離子運(yùn)動(dòng)軌跡在紙面內(nèi)．求：
（1）此離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r；
（2）離子從D處運(yùn)動(dòng)到G處所需時(shí)間為多少；
（3）離子到達(dá)G處時(shí)的動(dòng)能為多少．

Answer 1

（1）正離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，離子圓周運(yùn)動(dòng)半徑r滿足：
   r+rcos 60°=d　
解得：r=

2

3

d　
（2）設(shè)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，則有
   qv₀B=m

v 20

r

得，r=

mv0

qB

離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為  T=

2πr

v0

=

2πm

qB

根據(jù)軌跡得：離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：

  t₁=

120°

360°

T=

2πm

3qB

，
離子從C運(yùn)動(dòng)到G做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所需的時(shí)間t₂=

2d

v0

由r=

2

3

d=

mv0

qB

得，t₂=

2d

v0

=

3m

qB

故離子從D→C→G的總時(shí)間為：
  t=t₁+t₂=

(9+2π)m

3qB

．　
（2）設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，對(duì)離子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有：
  qE=ma，d=

1

2

at₂²　
由動(dòng)能定理得：Eq?d=E_kG-

1

2

mv₀²　
解得：E_kG=

4B2q2d2

9m

．
答：
（1）此離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r為

2

3

d；
（2）離子從D處運(yùn)動(dòng)到G處所需時(shí)間為

(9+2π)m

3qB

；
（3）離子到達(dá)G處時(shí)的動(dòng)能為

4B2q2d2

9m

．