Question

3．一客車從靜止開始以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，在車尾的后面離車頭x遠(yuǎn)的地方有一乘客以某一恒定速度v正在追趕這輛客車，已知司機(jī)從車頭反光鏡內(nèi)能看到離車頭的最遠(yuǎn)距離為x₀（即人離車頭距離超過(guò)x₀，司機(jī)不能從反光鏡中看到該人），同時(shí)司機(jī)從反光鏡中看到該人的像必須持續(xù)時(shí)間在t₀內(nèi)才能注意到該人，這樣才能制動(dòng)客車使車停下來(lái)，該乘客要想乘坐上這輛客車，追趕客車勻速運(yùn)動(dòng)的速度v，求：
（1）乘客的速度v所滿足的條件（用題中的字母表示）；
（2）若a=1.0m/s²，x=30m，x₀=20m，t₀=4.0s，求v的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)乘客經(jīng)過(guò)t時(shí)間與客車車頭的位移為s₀，通過(guò)位移關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，時(shí)間有兩個(gè)值，在這兩個(gè)時(shí)間之間，乘客與客車車頭的位移小于s₀，則兩個(gè)時(shí)間之差要保證大于等于t₀，根據(jù)該關(guān)系求出乘客速度的最小值

解答 解：（1）從客車由靜止開始運(yùn)動(dòng)計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，則
客車前進(jìn)x₁=$\frac{1}{2}$at²
乘客前進(jìn)x₂=vt
由題意x₁+x-x₂=x₀
整理得$\frac{1}{2}$at²+x-vt-x₀=0
解得：t=$\frac{{v±\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$
即：t₁=$\frac{{v-\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$，
t₂=$\frac{{v+\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$
因司機(jī)看到乘客的像必須持續(xù)t₀時(shí)間才能注意到乘客，所以t₂-t₁≥t₀
即：t=t₂-t₁=$\frac{{v+\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$-$\frac{{v-\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$=$\frac{{2\sqrt{{v^2}-2a（x-{x_0}）}}}{a}$≥t₀
所以  v≥$\sqrt{2a（x-{x_0}）+\frac{1}{4}{{（a{t_0}）}^2}}$
（2）代入數(shù)值得：v≥$\sqrt{2×1.0×（30-20）+\frac{1}{4}×{{（1.0×4.0）}^2}}$m/s=2$\sqrt{6}$ m/s=4.9 m/s
所以乘客追趕客車的最小速度為4.9 m/s．
答：（1）乘客的速度v所滿足的條件為v≥$\sqrt{2a（x-{x_0}）+\frac{1}{4}{{（a{t_0}）}^2}}$
（2）若a=1.0m/s²，x=30m，x₀=20m，t₀=4.0s，v的最小值為4.9m/s

點(diǎn)評(píng) 該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)中的較難題，關(guān)鍵抓住乘客經(jīng)過(guò)時(shí)間t與客車車頭的位移為s₀，還要注意乘客與客車車頭位移在s₀之內(nèi)的時(shí)間差大于等于t₀