Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點），用輕軟繩系在固定的邊長為a的正方形截面木柱的頂角A處（木柱水平，圖中斜線部分為其豎直橫截面），軟繩長為4a，軟繩所能承受的最大拉力T=9mg，軟繩開始時拉直并處于水平狀態(tài)，問此時應以多大的初速度豎直下拋小球，才能使繩繞在木柱上且個小段均做圓周運動最后擊中A點？

Answer 1

分析 小球的運動過程中滿足機械能守恒，掌握小球在豎直面內(nèi)圓周運動能通過最高點的臨界條件v$≥\sqrt{gR}$進行求解．

解答 解：在最低點，對小球應用牛頓第二定律得：
$T-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$      
由上式可知，小球圓周運動半徑越小，繩子越容易斷，故小球在最低點時，應取以B為圓心即R₁=3a，并保障繩子不被拉斷有：
9mg-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{3a}$
解得小球在最低點的最大速度為：${v}_{1}=\sqrt{24ga}$
設開始下拋的初速度為v₀，從開始至最低點應用動能定理得：
$mg×4a=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入${v}_{1}=\sqrt{24ga}$
可解得：${v}_{0}=4\sqrt{ga}$
若小球恰好能通過最高點，則在最高點處有：mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
由該式可見R₂最大時，通過最高點所需v₂越大，故應取C點為圓心，即R₂=2a才能完成圓周運動．
mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2ga}$
從開始至最高點時應用動能定理有：
$-mga=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入${v}_{2}=\sqrt{2ga}$可解得：${v}_{0}=3\sqrt{ga}$
綜上可知，使繩繞在木柱上且個小段均做圓周運動最后擊中A點小球豎直下拋的速度滿足：$3\sqrt{ga}≤{v}_{0}≤4\sqrt{ga}$
答：此時應以$3\sqrt{ga}≤{v}_{0}≤4\sqrt{ga}$的初速度豎直下拋小球，才能使繩繞在木柱上且個小段均做圓周運動最后擊中A點．

點評 解決本題的關鍵是抓住小球在豎直面內(nèi)圓周運動的通過最高點的臨界條件和向心力大小的判定，抓住條件展開討論是解決問題的關鍵．