Question

宇宙中存在一些離其它恒星很遠(yuǎn)的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對(duì)它們的引力作用．穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；另一種如圖所示，四顆恒星始終位于同一直線上，均圍繞中點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）已知第一種形式中的每顆恒星質(zhì)量均為m，正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，求其中一顆恒星受到的合力．
（2）已知第二種形式中的兩外側(cè)恒星質(zhì)量均為m、兩內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量均為M，四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距離相等．求內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量M與外側(cè)恒星質(zhì)量m的比值

M

m

．

Answer 1

分析：（1）四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，其中一個(gè)星所受的合力等于其它三個(gè)星對(duì)它引力的合力．
（2）抓住m和M的角速度相等，通過(guò)所受萬(wàn)有引力的合力提供向心力求出內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量M與外側(cè)恒星質(zhì)量m的比值．

解答：解：（1）其中一顆恒星受到的合力F=2×G

m2

L2

cos45°+G

m2

( 2 L)2

=

1+2 2

2

Gm2

L2

．
（2）設(shè)相鄰恒星之間的距離為L(zhǎng)，則有：G

Mm

L2

+G

Mm

(2L)2

+G

m2

(3L)2

=m?2Lω2
G

M2

L2

+G

Mm

(2L)2

-G

Mm

L2

=MLω2
聯(lián)立兩式解得

M

m

=

85

63

答：（1）其中一顆恒星受到的合力為

1+2 2

2

Gm2

L2

．
（2）內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量M與外側(cè)恒星質(zhì)量m的比值

M

m

=

85

63

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵抓住恒星的角速度相等，結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行求解．