Question

把一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小球用細(xì)線(xiàn)懸掛起來(lái)，就成為一個(gè)擺．如圖，擺長(zhǎng)為0.9米，當(dāng)偏角θ為60°時(shí)，釋放小球，如果阻力可以忽略，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低位置O時(shí)的速度是多大？
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低位置O時(shí)，細(xì)線(xiàn)對(duì)小球的拉力是多大？
（3）假設(shè)擺的下方是一個(gè)傾角為45°的斜面，如果小球運(yùn)動(dòng)到位置O時(shí)，恰好細(xì)線(xiàn)斷了，若OD間距離h=6.75米，求小球落地點(diǎn)P到O點(diǎn)正下方的斜面上D點(diǎn)的距離是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在擺動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球運(yùn)動(dòng)到最低位置O時(shí)的速度大小．
（2）在最低點(diǎn)O時(shí)，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出細(xì)線(xiàn)的拉力大小．
（3）小球運(yùn)動(dòng)到位置O時(shí)恰好細(xì)線(xiàn)斷了，此后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球落地點(diǎn)P到O點(diǎn)的水平距離為x，豎直距離為y，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到x和y的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得到：h-y=x，即可求得x和y，再根據(jù)幾何知識(shí)求出P到斜面上D點(diǎn)的距離．

解答：解（1）由偏角θ為60°釋放小球到最低點(diǎn)時(shí)，豎直的高度差是：
h=l（1-cos60°）=0.9×（1-0.5）m=0.45m
此過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律知：mgh=

1

2

mv²
所以有：v=

2gl(1-cos60°)

=

2×10×0.9×0.5

m/s=3m/s
（2）在最低點(diǎn)O，合外力提供向心力，有：F_合=F_向
則得：F_拉-mg=

mv2

l

解得：F_拉=mg+

mv2

l

=mg+2mg（1-cos60°）=2mg=2×0.2×10N=4N
（3）設(shè)小球落地點(diǎn)P到O點(diǎn)的水平距離為x，豎直距離為y，則有：
x=vt
y=

1

2

gt2
由于斜面的傾角為45°，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得知：h-y=x
聯(lián)立得：h-

1

2

gt2=vt
代入得：6.75-5t²=3t
解得：t=1.5s（另一值為負(fù)，舍去）
則P到O點(diǎn)正下方的斜面上D點(diǎn)的距離是  s=

2

x=

2

vt=

2

×3×1.5=

9 2

2

m
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低位置O時(shí)的速度是3m/s；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低位置O時(shí)，細(xì)線(xiàn)對(duì)小球的拉力是4N；
（3）假設(shè)擺的下方是一個(gè)傾角為45°的斜面，如果小球運(yùn)動(dòng)到位置O時(shí)，恰好細(xì)線(xiàn)斷了，若OD間距離h=6.75米，求小球落地點(diǎn)P到O點(diǎn)正下方的斜面上D點(diǎn)的距離是

9 2

2

m．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是根據(jù)幾何知識(shí)分析平拋運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分位移的關(guān)系，求解平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，有一定的難度，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高解題能力．