Question

13．如圖，足夠長的光滑平行金屬導軌電阻不計，間距L=1m，與水平成成θ=37°角傾斜放置，導軌上端連有阻值R=2Ω的電阻，磁感應強度B=1T的勻強磁場垂直于導軌平面．現(xiàn)有質(zhì)量m=1kg、電阻r=3Ω的金屬棒，從導軌上x=0處以初速度v₀=10m/s沿導軌向上運動，對金屬棒施加一個平行于導軌平面向上做勻減速運動的過程中，每1s內(nèi)在電阻R上的電壓變化總是2V，已知g=10m/s²，sin37°=0.6．求
（1）電路中電流的最大值；
（2）從開始到運動至最高點的過程中，金屬棒的機械能變化量
（3）外力F隨金屬棒在導軌上的位置x變化的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）金屬棒做勻減速運動，開始時速度最大，產(chǎn)生的感應電動勢最大，感應電流也最大．由公式E=BLv和歐姆定律結合求解．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律得到電阻R兩端電壓與速度v的關系式，結合題中的條件求出加速度，由運動學公式求出棒上滑的位移，再由能量守恒求解．
（3）由運動學公式、法拉第電磁感應定律、歐姆定律結合得到安培力的表達式，再由牛頓第二定律求解

解答 （1）金屬棒速度最大時，感應電動勢E最大，電流I最大，有：
E_m=BLV₀…①
${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}$…②
所以　I_m=2A…③
（2）設棒運動速度為v時，棒上感應電動勢E=BLV…④
由閉合電路歐姆定律得 E=I（R+r）…⑤
設電阻R兩端電壓為U，由歐姆定律得
U=IR…⑥
故$\frac{△U}{△t}=\frac{BLR}{R+r}\frac{△V}{△t}$…⑦
又因為金屬棒運動加速度大小a=$\frac{△V}{△t}$…⑧
所以a=5m/s²…⑨
由${V}_{0}^{2}=2aS$…⑩
得：S=10m…（11）
金屬棒的重力勢能增加量為△E_P=mgsinθ=60J…（12）
所以機械能改變量為 $△E=△{E}_{P}-\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$=10J…（13）
即機械能增加了10J…（14）
（3）設金屬桿到達位置x處時，速度的大小為v則
${V}^{2}-{V}_{0}^{2}=-2ax$…（15）
金屬棒受到的安培力F_L=BIL…（16）
由牛頓第二定律：F_L+mgsinθ-F=ma…（17）
聯(lián)立④⑤⑮⑯⑰，得
F=$1+\sqrt{4-0.4x}$（N）…（18）
答：（1）電路中電流的最大值2A；
（2）從開始到運動至最高點的過程中，金屬棒的機械能增加了10J
（3）外力F隨金屬棒在導軌上的位置x變化的函數(shù)表達式F=$1+\sqrt{4-0.4x}$

點評 本題是電磁感應中的力學問題，關鍵要熟練推導出安培力與速度的關系，運用運動學規(guī)律研究速度和位移，要能正確把握能量轉(zhuǎn)化的情況