Question

(16分)如圖所示，在高h(yuǎn)₁＝1.2m的光滑水平臺(tái)面上，質(zhì)量m＝1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲(chǔ)存了一定量的彈性勢(shì)能E_p，若打開(kāi)鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度v₁向右滑離平臺(tái)，并恰好能從B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入光滑圓弧形軌道BC，B點(diǎn)的高度h₂＝0.6m，其圓心O與平臺(tái)等高，C點(diǎn)的切線水平，并與地面上長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2.8m的水平粗糙軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)與右邊墻壁發(fā)生碰撞，取g＝10m/s²。

⑴求小物塊由A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
⑵小物塊原來(lái)壓縮彈簧時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_p是多大？
⑶若小物塊與墻壁碰撞后速度方向反向，大小為碰前的一半，且只發(fā)生一次碰撞，則小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍多大？

Answer 1

⑴t＝0.346s；⑵E_p＝2J；⑶≤μ＜。

試題分析：⑴小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，只受重力作用，做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為：t＝＝s≈0.346s
⑵根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，h₂＝h₁(1－cos∠BOC)，解得：∠BOC＝60°
設(shè)小物塊離開(kāi)桌面時(shí)的速度為v₁，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：tan60°＝，解得：v₁＝2m/s
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒可知，小物塊原來(lái)壓縮彈簧時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為：E_p＝＝2J
⑶據(jù)題意知，μ的最大值對(duì)應(yīng)的是物塊撞墻前瞬間的速度無(wú)限小，根據(jù)能量關(guān)系有：mgh₁＋Ep＞μmgL
解得：μ＜
對(duì)于μ的最小值求解，首先應(yīng)判斷物塊第一次碰墻反彈后，能否沿圓軌道滑離B點(diǎn)，設(shè)物塊在D處的速度為v₂，由能量關(guān)系有：mgh₂＋Ep＝μmgL＋
第一次碰墻后返回至C處的動(dòng)能為：E_kC＝－μmgL
即使當(dāng)μ＝0，有：＝8J，＝2J＜mgh₂＝6J，即小物塊返回時(shí)不能滑至B點(diǎn)
在上述分析下，μ的最小值對(duì)應(yīng)著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經(jīng)C恰好至D點(diǎn)停止，因此有：≤2μmgL，解得：μ≥
所以滿足題目條件的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍為：≤μ＜