Question

6．如圖所示，質(zhì)量分別為m₁，m₂的光滑小球放在上表面光滑的半球上，受到在用一平面內(nèi)長分別為l₁，l₂的輕繩的牽引（已知l₁，l₂與O′O的夾角分別為α和β，且α＞β），在半球球心O點(diǎn)正上方的轉(zhuǎn)盤O′的帶動(dòng)下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為使兩球都不離開半球，求轉(zhuǎn)盤O′轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．

Answer 1

分析 設(shè)當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₁時(shí)，小球m₁與半球的作用力剛好為零，則對(duì)小球m₁由牛頓第二定律求出ω₁，同理求出ω₂，根據(jù)幾何關(guān)系判斷ω₁和ω₂的大小關(guān)系，從而求解為使兩球都不離開半球，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的范圍．

解答 解：設(shè)當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₁時(shí)，小球m₁與半球的作用力剛好為零，則對(duì)小球m₁由牛頓第二定律得：
${m}_{1}gtanα={m}_{1}{l}_{1}{{ω}_{1}}^{2}sinα$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$
設(shè)當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₂時(shí)，小球m₂與半球的作用力剛好為零，則對(duì)小球m₂由牛頓第二定律得：
${m}_{2}gtanβ={m}_{2}{l}_{2}{{ω}_{2}}^{2}sinβ$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{g}{{l}_{2}cosβ}}$
由于α＞β，由幾何知識(shí)可知，l₁cosα＞l₂cosβ，所以ω₁＜ω₂
故為使兩球都不離開半球，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω≤ω₁，即$ω≤\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$
答：轉(zhuǎn)盤O′轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)小于等于$\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出兩個(gè)小球剛好不離開半球的臨界狀態(tài)，知道當(dāng)小球與半球的作用力剛好為零時(shí)，剛好不離開，并能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度適中．