Question

7．已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，自轉周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若某運動員在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉影響的條件下，下述分析正確的是（　　）

• A． 火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g
• B． 火星的同步衛(wèi)星的軌道徑是地球的同步衛(wèi)星的軌道半徑的$\root{3}{\frac{1}{9}}$倍
• C． 火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{1}{3}$倍
• D． 運動員以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度是$\frac{4}{9}$h

Answer 1

分析 根據萬有引力等于重力，得出重力加速度的關系，從而得出上升高度的關系；根據萬有引力等于向心力列式求解軌道半徑的關系；根據萬有引力等于向心力求出第一宇宙速度的關系．

解答 解：A、根據重力等于萬有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{火}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{火}^{2}}=\frac{1}{9}×4=\frac{4}{9}$，所以火星表面重力加速度為${g}_{火}^{\;}=\frac{4}{9}{g}_{地}^{\;}=\frac{4}{9}g$，故A正確；
B、同步衛(wèi)星的周期等于星球的自轉周期，根據萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得到$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，因為自轉周期也基本相同，所以r∝$\root{3}{M}$，所以$\frac{{r}_{火}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=\root{3}{\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}}=\root{3}{\frac{1}{9}}$，即火星的同步軌道半徑是地球的同步軌道半徑的$\root{3}{\frac{1}{9}}$，故B正確；
C、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得到$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度之比為$\frac{{v}_{火}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{9}×2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，則火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，故C錯誤；
D、豎直上拋的最大高度$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$∝$\frac{1}{g}$，所以$\frac{{h}_{火}^{\;}}{{h}_{地}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{火}^{\;}}=\frac{9}{4}$，在火星上可跳的最大高度${h}_{火}^{\;}=\frac{9}{4}h$，故D錯誤；
故選：AB

點評 通過物理規(guī)律把進行比較的物理量表示出來，再通過已知的物理量關系求出問題是選擇題中常見的方法．把星球表面的物體運動和天體運動結合起來是考試中常見的問題．