Question

如圖所示的“S”字形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，將軌道固定在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓連接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從P點水平拋出，已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ=0.2，不計其它機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質量m=0.01kg，軌道質量M=0.22kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=

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m/s，小球從P點拋出后的水平射程；
（2）當v₀至少為多大時，小球在最高點時才能使軌道對地面的壓力為零．

Answer 1

分析：（1）對小球從a點到P點的過程由動能定理可求得小球在P點的速度；小球以此速度做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律可求得水平射程；
（2）要使軌道對地面沒有壓力，則此時物體對軌道應有向上的彈力，大小等于軌道的重力；即此時軌道與小球的重力充當向心力；則有牛頓運動定律可求得P點的速度；再由動能定理可求得v₀．

解答：解：（1）設小球運動到最高點P的速度為v，根據動能定理有：
-μmgL-4mgR=m

v2 -v 2 0

2

      ①
v²=v₀²-2μgL-8gR                 ②
小球離開P點后做平拋運動，
則x軸：x=vt　　　                   ③
y軸：4R=

gt2

2

                    ④
聯立解得：x=0.8m
（2）小球在最高點P時，要使軌道對地面壓力為零，則小球在最高點速度為v，以整體為研究對象：
根據牛頓第二定律得：（M+m）g=m

v2

R

     ⑤
又由動能定理可得：-μmgL-4mgR=m

v2- v 2 0

2

           ⑥
解得：v₀=6m/s
答：（1）小球從P點拋出后的射程為0.8m；（2）v₀至少為6m/s時，軌道對地面才沒有壓力．

點評：本題考查動能定理及平拋運動和向心力公式，在解題時應注意明確物理過程，針對不同的過程靈活選用動能定理或機械能守恒列式．