Question

水平放置的木柱，橫截面為邊長(zhǎng)等于a的正四邊形ABCD；擺長(zhǎng)4a的擺，懸掛在A點(diǎn)，如圖所示，開始時(shí)質(zhì)量為m的擺球處在與A等高的P點(diǎn)，這時(shí)擺線沿水平方向伸直；已知擺線能承受的最大拉力為7mg；若以初速度v豎直向下將擺球從P點(diǎn)拋出，為使擺球能始終沿圓弧運(yùn)動(dòng)，并最后擊中A點(diǎn)．求v的許可值范圍（不計(jì)空氣阻力）．

Answer 1

【答案】分析：擺球先后以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑分別為R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a為半徑各作四分之一圓周的圓運(yùn)動(dòng)．根據(jù)動(dòng)能定理求出擺球沿半徑4a運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度、沿半徑3a運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出擺球經(jīng)過(guò)這兩個(gè)位置時(shí)擺線的拉力，當(dāng)擺球繞C點(diǎn)以半徑2a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，要能沿圓弧運(yùn)動(dòng)，擺球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出擺球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)v的最小值．當(dāng)擺球開始繞D點(diǎn)以半徑R₄=a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)擺線拉力達(dá)到最大，求出初速度的最大值，即可v的范圍．
解答：解：擺球先后以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑分別為R₁=4a，R₂=3a，R₃=2a，R₄=a為半徑各作四分之一圓周的圓運(yùn)動(dòng)．

①當(dāng)擺球從P點(diǎn)開始，沿半徑4a運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度v₁，
根據(jù)動(dòng)能定理：
當(dāng)擺球開始以v₁繞B點(diǎn)以半徑3a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線拉力為T₁：
這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：
擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₁＜．
②當(dāng)擺球從B點(diǎn)開始，沿半徑3a運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的速度v₂，
根據(jù)動(dòng)能定理：
當(dāng)擺球開始以v₂繞C點(diǎn)以半徑2a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線拉力為T₂：
這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：
擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₂＜．
③當(dāng)擺球繞C點(diǎn)以半徑2a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，為確保沿圓周運(yùn)動(dòng)，
到達(dá)最高點(diǎn)有：．
由動(dòng)能定理：
由此求得：v₀₃＞
④當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)，擊中A點(diǎn)時(shí)的速度v₀₄，
根據(jù)動(dòng)能定理：
當(dāng)擺球開始以v₄繞D點(diǎn)以半徑R₃=a作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線拉力為T₃：
這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：
擺線的最大拉力為：T_max=7mg；
由此求得：v₀₄＜．
綜上所述：．
答：v的許可值范圍為：．
點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理與向心力臨界條件的結(jié)合，關(guān)鍵是分析擺球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握臨界條件．