Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質(zhì)量為m的物塊，B為位于水平地面上質(zhì)量為M的特殊長(zhǎng)平板，，平板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.02，在平板的表面上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，如圖中畫虛線的部分，當(dāng)物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)，便受到B對(duì)它豎直向上的恒力f作用，其中f=kmg，k=11，f對(duì)P的作用恰好使P不與B的上表面接觸；在水平方向上P、B之間沒有相互作用力.已知物塊P開始下落時(shí)刻，平板B向右的速度為v₀=10m/s，P從開始下落到剛到達(dá)相互作用區(qū)所經(jīng)歷的時(shí)間為t₀=2 s.設(shè)B板足夠長(zhǎng)，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區(qū).求：

(1)物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時(shí)間.

(2)當(dāng)B開始停止運(yùn)動(dòng)的那一時(shí)刻，P已經(jīng)回到初始位置多少次.

Answer 1

解法一：(1)依題意，物塊P在長(zhǎng)木板B的上方做周期性運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊剛進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)的速度為v，則v=gt₀  ①

P進(jìn)入相互作用區(qū)后的加速度為a，由牛頓第二定律可得a==(k-1)g，設(shè)向下減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則v=at=(k-1)gt  ② 

①②兩式聯(lián)立解得t=t₀

故物塊P運(yùn)動(dòng)的周期T=2(t₀+t)==4.4 s  ③ 

(2)物塊P未進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)，B的加速度a₁==μg  ④

物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)，B的加速度a₂=  ⑤

則2t₀時(shí)間內(nèi)，B的速度減小量Δv₁=a₁·2t₀=2μgt₀  ⑥

在2t時(shí)間內(nèi)，B的速度減少量Δv₂=a₂·2t=2μg  ⑦ 

故在P運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，B的速度減少量Δv=Δv₁+Δv₂=2μgt₀+2μg ⑧

P回到初始位置的次數(shù)n=  ⑨

聯(lián)立⑧⑨兩式解得n=10.3，n應(yīng)取整數(shù)，故n=10 

解法二：(1)物塊P從開始下落到減速運(yùn)動(dòng)速度為零的全過程中，根據(jù)動(dòng)量定理，有mg(t₀+t)-ft=0

則t= 

故T=2(t₀+t)==4.4 s 

(2)設(shè)在P運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期T內(nèi)，B的速度減少量為Δv，根據(jù)動(dòng)量定理有μMg·2t₀+μ(Mg+f)·2t=MΔv 

解得Δv=2μgt₀+2μg(1+)·

P回到初始位置的次數(shù)n=

聯(lián)立解得n=10.3，n應(yīng)取整數(shù)，故n=10