Question

半徑為R的光滑絕緣半球槽處在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一質(zhì)量為m的帶電小球從槽的右端A處（與球心等高）無(wú)初速度沿軌道滑下，滑到最低點(diǎn)B時(shí)，球?qū)�軌道的壓力�?mg．求：
（1）小球從A到B的過(guò)程中電場(chǎng)力做的功及電場(chǎng)力的大�。�
（2）帶電小球在滑動(dòng)過(guò)程中的最大速度．

Answer 1

分析：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最底位置B時(shí)速度為v，小球從A處沿槽滑到最底位置B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合向心力公式聯(lián)立方程即可求解；
（2）小球在滑動(dòng)過(guò)程中最大速度的條件：是小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程某位置時(shí)切向合力為零，設(shè)此時(shí)小球和圓心間的連線與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系及動(dòng)能定理即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低位置B時(shí)速度為v，此時(shí)N-mg=

v2

R

…①
由題意，N=2mg
解得：v=

gR

設(shè)電場(chǎng)力大小為F，做功為W，小球從A處沿槽滑到最底位置B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgR+W=

1

2

mv2-0…②
由①、②兩式得：W=-

1

2

mgR…③
所以此過(guò)程中電場(chǎng)力做負(fù)功，則電場(chǎng)力方向水平向右，由|W|=FR，得電場(chǎng)力大小為 F=|

W

R

|=

1

2

mg．
（2）小球在滑動(dòng)過(guò)程中最大速度的條件：是小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程某位置時(shí)切向合力為零，設(shè)此時(shí)小球和圓心間的連線與豎直方向的夾角為θ，如圖
mgsinθ=Fcosθ…③
則得：tanθ=

1

2

小球由A處到最大速度位置得過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
  mgRcosθ-

1

2

mgR(1-sinθ)=

1

2

m

v

2 m

-0
解得 v_m=

( 5 -1)gR

答：（1）小球受到電場(chǎng)力的大小為

1

2

mg，方向水平向右；
（2）帶電小球在滑動(dòng)過(guò)程中的最大速度是

( 5 -1)gR

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，要注意電場(chǎng)力方向的判斷，難度適中．