Question

已知萬有引力常量為G，地球半徑為R，同步衛(wèi)星距地面的高度為h，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面的重力加速度為g．某同學根據(jù)以上條件，提出一種估算地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小的方法：地球赤道表面的物體隨地球作圓周運動，由牛頓運動定律有

GMm

R2

=m

v2

R

又因為地球上的物體的重力約等于萬有引力，有mg=

GMm

R2

由以上兩式得：v=

gR

（1）請判斷上面的結(jié)果是否正確．如不正確，說明理由并給出正確的解法和結(jié)果．
（2）求地球質(zhì)量
（3）求同步衛(wèi)星線速度．

Answer 1

分析：（1）地球赤道上的物體做圓周運動的向心力是萬有引力與地面對物體支持力的合力提供，不是萬有引力提供．抓住周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，結(jié)合線速度與周期的關系求出線速度的大小．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出地球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出同步衛(wèi)星的線速度．

解答：解：（1）以上結(jié)果是不正確的．因為地球赤道表面的物體隨地球作圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．
正確解答如下：地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的周期為T，軌道半徑為R，所以線速度大小為v=

2πR

T

（2）①可估算地球的質(zhì)量M，設同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r=R+h，周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期為T，由牛頓第二定律有G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
可得M=

4π2(R+h)3

GT2

②或可估算同步衛(wèi)星運行時線速度的大小v'，由①知地球同步衛(wèi)星的周期為T，萬有引力提供向心力G

Mm

(R+h)2

=m

v′2

R+h

對地面上的物體有G

Mm

R2

=mg
所以得v′=R

g R+h

．
答：（1）以上結(jié)果是不正確的．因為地球赤道表面的物體隨地球作圓周運動的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對物體支持力的合力．線速度的大小為v=

2πR

T

．
（2）地球的質(zhì)量為M=

4π2(R+h)3

GT2

．
（3）同步衛(wèi)星線速度為v′=R

g R+h

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．