Question

10．兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)．導(dǎo)軌上橫放這兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)．在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行，開(kāi)始時(shí)，棒ab和棒cd之間的距離為d，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀，若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求：
（1）棒ab有指向棒cd的初速度v₀時(shí)回路中的電流．
（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣葀₀的$\frac{3}{5}$時(shí)，cd棒的加速度大�。�
（3）穩(wěn)定棒ab和棒cd之間的距離．

Answer 1

分析 （1）本題中兩根導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況：ab棒向cd棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應(yīng)電流，由法拉第電磁感應(yīng)定律，求出棒ab產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，再求出回路產(chǎn)生的電流大��；
（2）兩棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出棒的速度；此時(shí)電路中的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為二者的差，然后結(jié)合閉合電路的歐姆定律與牛頓第二定律即可求出加速度；
（3）穩(wěn)定時(shí)二者的速度相等，由動(dòng)量守恒定律即可求出共同 的速度，然后對(duì)cd棒應(yīng)用動(dòng)量定理，結(jié)合通過(guò)棒的電量的表達(dá)式：q=$\frac{△Φ}{R}$即可求出．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律，棒PQ產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₀
則回路產(chǎn)生的電流大小為：I=$\frac{E}{2R}=\frac{BL{v}_{0}}{2R}$
（2）棒ab和cd在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終受到等大反向的安培力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，設(shè)ab棒的速度為$\frac{3}{5}{v}_{0}$時(shí)cd棒的速度是v₁，以向右的方向?yàn)檎�方向，得�?br />mv₀=m$\frac{3}{5}{v}_{0}$+mv₁ 
解得${v}_{1}=\frac{2}{5}{v}_{0}$
此時(shí)回路中的總電動(dòng)勢(shì)：E′=（$\frac{3}{5}{v}_{0}-\frac{2}{5}$v₀）BL=$\frac{BL{v}_{0}}{5}$
回路中的電流：I′=$\frac{E′}{2R}$
cd棒受到的安培力：F=BI′L
所以cd棒上的加速度：$a=\frac{F}{m}$
聯(lián)立得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{10mR}$
（3）穩(wěn)定時(shí)二者速度相等，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=2mv₂
設(shè)整個(gè)的過(guò)程中通過(guò)回路的電荷量為q，對(duì)cd棒由動(dòng)量定理得：
$m{v}_{2}-0=B\overline{I}L•t=BLq$
所以：q=$\frac{m{v}_{0}}{2BL}$
設(shè)穩(wěn)定后二者之間的距離是d′，則：q=$\frac{△Φ}{2R}=\frac{BL（d-d′）}{2R}$
聯(lián)立以上兩式得：$d′=d-\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）棒ab有指向棒cd的初速度v₀時(shí)回路中的電流是$\frac{BL{v}_{0}}{2R}$．
（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣葀₀的$\frac{3}{5}$時(shí)，cd棒的加速度大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{10mR}$．
（3）穩(wěn)定棒ab和棒cd之間的距離是$d-\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查電磁感應(yīng)中的動(dòng)量守恒定律，幾乎是最難的題目，應(yīng)用到E=BLv、歐姆定律、動(dòng)量守恒定律等知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，在解答的過(guò)程中一定要注意對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的把握，注意動(dòng)量守恒的條件與動(dòng)量定理應(yīng)用的方式．