Question

4．如圖所示，是一種電子擴(kuò)束裝置的原理示意圖．直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O處有一電子發(fā)射裝置，可以不斷朝xOy平面內(nèi)x≥0區(qū)域任意方向發(fā)射電子，電子的速率均為v₀，已知電子的電荷量為e、質(zhì)量為m．在0≤x≤d的區(qū)域內(nèi)分布著沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2ed}$，在x＞d區(qū)域內(nèi)分布著足夠大且垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=$\frac{4m{v}_{0}}{ed}$，ab為一塊很大的平面感光板，在磁場(chǎng)內(nèi)平行于y軸放置，電子打到板上后會(huì)在板上形成一條亮線．不計(jì)電子的重力和電子之間的相互作用．求：
（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大�。�
（2）當(dāng)感光板沿x軸方向移到某一位置時(shí)恰好沒(méi)有電子打到板上，求板ab到y(tǒng)軸的距離x₁；
（3）保持（2）中感光板位置不動(dòng)，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使所有電子都能打到感光板上，試計(jì)算此時(shí)最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功都相同，為eEd，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小，即得到電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小；
（2）電子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．對(duì)于沿y軸負(fù)方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，不能打到ab板上，則所有電子均不能打到ab板上．當(dāng)此電子軌跡與ab板相切時(shí)，畫(huà)出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識(shí)求出感光板到y(tǒng)軸的距離x₁．
（3）沿y軸正方向射出的電子若能打到ab板上，則所有電子均能打到板上．此電子軌跡恰好與ab板相切，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）電場(chǎng)力對(duì)電子做功，由動(dòng)能定理得：
eEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v=2v₁；
（2）由題意結(jié)合左手定則可以判定：若沿y軸負(fù)方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡與ab板相切不能打到ab板上時(shí)，
則所有電子均不能打到ab板上，作出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
設(shè)該電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與豎直方向的夾角為θ，有：vcosθ=v₁，
電子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由圖中幾何關(guān)系可知：x₁=r（1+cosθ）+d，解得：x₁=$\frac{7}{4}$d；
（3）由題意結(jié)合左手定則可以判定：若沿y軸正方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡恰好與ab板相切能打到ab板上，
則所有電子均能打到板上，作出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
由幾何關(guān)系得：d+r′（1-cosθ）=r₁，
由牛頓第二定律得：evB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，解得：B′=$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$；
答：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為2v₀；
（2）當(dāng)感光板ab沿x軸方向移到某一位置時(shí)，恰好沒(méi)有電子打到板上，感光板到y(tǒng)軸的距離x₁為$\frac{7}{4}$d；
（3）保持（2）中感光板位置不動(dòng)，若使所有電子恰好都能打到感光板上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為：$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本題是電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵是分析臨界情況，當(dāng)電子剛好不能打到ab板上時(shí)，其軌跡恰好與ab板相切，這是經(jīng)常用到的臨界條件．