Question

8．已知地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，有一顆與同步衛(wèi)星在同一軌道平面的低軌道衛(wèi)星，自西向東繞地球運行，其運行半徑為同步軌道半徑的四分之一，該衛(wèi)星兩次在同一城市的正上方出現(xiàn)的時間間隔可能是（　�。�

• A． $\frac{{T}_{0}}{4}$
• B． $\frac{3{T}_{0}}{4}$
• C． $\frac{3{T}_{0}}{7}$
• D． $\frac{{T}_{0}}{7}$

Answer 1

分析 通過萬有引力提供向心力求出周期與軌道半徑的關(guān)系，從而求出人造衛(wèi)星的周期．抓住轉(zhuǎn)過的圓心角關(guān)系求出在同一城市的正上方出現(xiàn)的最小時間．

解答 解：設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運動周期為T，因為衛(wèi)星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}mr}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即為T₀．已知該人造衛(wèi)星的運行半徑為同步衛(wèi)星軌道半徑的四分之一，所以該人造衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的周期之比是：
$\frac{T}{{T}_{0}}$=$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{（4r）^{3}}}$=$\frac{1}{8}$
解得：T=$\frac{1}{8}$T₀．
設(shè)衛(wèi)星至少每隔t時間才在同一地點的正上方出現(xiàn)一次，根據(jù)圓周運動角速度與所轉(zhuǎn)過的圓心角的關(guān)系θ=ωt得：$\frac{2π}{T}$t=2π+$\frac{2π}{{T}_{0}}$t
解得：t=$\frac{{T}_{0}}{7}$，
因此衛(wèi)星可能每隔$\frac{{T}_{0}}{7}$時間才在同一地點的正上方出現(xiàn)一次，
那么衛(wèi)星兩次在同一城市的正上方出現(xiàn)的時間間隔可能為$\frac{3}{7}{T}_{0}$，故AB錯誤，CD正確．
故選：CD．

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應(yīng)用能力．要理解當衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在城市上空．