Question

3．如圖所示，豎直放置的矩形光滑金屬導(dǎo)軌ABCD，每單位長(zhǎng)度的電阻為r，處在垂直與軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．軌道的AB段平行于CD段，相距為L(zhǎng)，BC段水平．有一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的水平金屬桿MN可在導(dǎo)軌上自由滑動(dòng)，桿與導(dǎo)軌有良好的電接觸．將桿MN從某一高度處由靜止開始釋放后，下滑h高度時(shí)速度達(dá)到最大值．在此過(guò)程中，電路里產(chǎn)生的熱量為Q．以后，若設(shè)法讓桿MN保持這個(gè)速度勻速下滑，直到離開導(dǎo)軌為止．求：桿在勻速下滑的過(guò)程中的速度和導(dǎo)軌中的電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律．

Answer 1

分析 由能的轉(zhuǎn)化與守恒求出桿在勻速下滑的過(guò)程中的速度；桿勻速下滑受到的重力和安培力平衡，根據(jù)受力平衡求出電阻R，電磁感應(yīng)定律表示出電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路的歐姆定律求出電流．

解答 解：設(shè)金屬桿MN達(dá)到的最大速度為v，由能的轉(zhuǎn)化和守衡定律得$Q=mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$
$v=\sqrt{2（gh-\frac{Q}{m}）}$（1）
此時(shí)金屬軌道的電阻為R，金屬桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為ε，通過(guò)的電流為I，則有$ε=BLv=BL\sqrt{2（gh-\frac{Q}{m}）}$（2）
$I=\frac{ε}{R}$（3）
桿MN所受的安培力
F_B=BIL（4）
由平衡條件得mg=BIL（5）
由（2）（3）（4）（5）式聯(lián)立求解
得$R=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{mg}$（6）
設(shè)此時(shí)金屬桿MN到BC的距離為x，導(dǎo)軌接入電路的電阻為R=（2x+L）r（7）
（6）（7）式聯(lián)立求解得$x=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2mgr}-\frac{L}{2}$（8）
桿MN勻速滑至BC所用的時(shí)間$t=\frac{x}{v}=\frac{{{B^2}{L^2}}}{2mgr}-\frac{L}{2v}$（9）
在此時(shí)間內(nèi)ε=BLv
$I'=\frac{ε}{R}=\frac{BLv}{（2x+L-2vt）r}$（10）
將（8）式代入（10）式得$I'=\frac{BLmg}{{{B^2}{L^2}-2mgrt}}$（11）
答：桿在勻速下滑的過(guò)程中的速度為$\sqrt{2（gh-\frac{Q}{m}）}$和導(dǎo)軌中的電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律$I′=\frac{BLmg}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}-2mgrt}$．

點(diǎn)評(píng) 本是電磁感應(yīng)中常見的問題：導(dǎo)體在導(dǎo)軌上滑動(dòng)的類型，從力和能兩個(gè)角度研究．力的角度，關(guān)鍵是安培力的分析和計(jì)算．能的角度要把握涉及幾種能、能量如何是轉(zhuǎn)化的．