Question

如圖所示，在絕緣光滑的水平面上，有一個(gè)質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形線框，用一垂直于ab 邊的恒定外力將正方形線框以速率v₁勻速拉進(jìn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)正方形線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)后立即將外力撤去，線框最終能完全離開磁場(chǎng)，若測(cè)得cd邊剛要離開磁場(chǎng)時(shí)速率為v₂，已知磁場(chǎng)方向豎直向下，寬度為5L，正方形線框每條邊的電阻均為R，求：
（1）恒定外力的大��；
（2）線框ab邊剛進(jìn)磁場(chǎng)到剛要出磁場(chǎng)時(shí)所用時(shí)間t和cd邊剛要離開磁場(chǎng)時(shí)的電勢(shì)差Ucd；
（3）整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）外力將線框勻速拉進(jìn)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，外力與安培力二力平衡．根據(jù)公式E₁=Blv₁、I₁=

E1

4R

、F_安=BI₁l求得安培力，即可由平衡條件求出外力的大�。�
（2）線框ab邊剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，撤去外力后完全進(jìn)入磁場(chǎng)，沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，不受安培力，在未出磁場(chǎng)前仍是勻速運(yùn)動(dòng)，所以t=

5l

v1

．
cd邊剛要離開磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)E₂=Blv₂、I₂=

E2

4R

求出感應(yīng)電流，由歐姆定律求電勢(shì)差U_cd．
（3）根據(jù)功能關(guān)系求整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答：解：（1）線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，E₁=Blv₁，
線框中感應(yīng)電流  I₁=

E1

4R

，
安培力F_安=BI₁l，
線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)_外=F_安．
聯(lián)立以上各式得：外力F_外=

B2l2v1

4R

（2）線框ab邊剛進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，撤去外力后完全進(jìn)入磁場(chǎng)，沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，不受安培力，在未出磁場(chǎng)前仍是勻速運(yùn)動(dòng)，則線框ab邊剛進(jìn)磁場(chǎng)到剛要出磁場(chǎng)時(shí)所用時(shí)間t=

5l

v1

．
cd邊剛要離開磁場(chǎng)時(shí)，cd邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E₂=Blv₂、
此時(shí)回路中感應(yīng)電流  I₂=

E2

4R

，
由歐姆定律得電勢(shì)差U_cd=I₂?3R=-

3

4

Blv₂（因?yàn)閐點(diǎn)電勢(shì)低于c點(diǎn)電勢(shì)）
（3）進(jìn)入磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱等于克服安培力做功，即Q₁=F_安l=

B2l3v1

4R

穿出磁場(chǎng)過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

所以全過程產(chǎn)生的焦耳熱為Q=Q₁+Q₂=

B2l3v1

4R

+

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

答：
（1）恒定外力的大小是

B2l2v1

4R

；
（2）線框ab邊剛進(jìn)磁場(chǎng)到剛要出磁場(chǎng)時(shí)所用時(shí)間t為

5l

v1

．
cd邊剛要離開磁場(chǎng)時(shí)的電勢(shì)差U_cd是-

3

4

Blv₂．
（3）整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q是

B2l3v1

4R

+

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

．

點(diǎn)評(píng)：安培力是聯(lián)系電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的橋梁，要熟練地由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力表達(dá)式．