Question

如圖所示，為空間直角坐標(biāo)系，其中y軸正方向豎直向上。在整個(gè)空間中存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。現(xiàn)有一質(zhì)量為、電荷量為q（q＞0）的帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿x軸正方向射出，重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計(jì)。
（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求所加電場的場強(qiáng)大小以及小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)第一次通過z軸的坐標(biāo)；
（2）若改變第（1）問中所加電場的大小和方向，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出恰好沿x軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)所加勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小；
（3）若保持第（2）問所加的勻強(qiáng)電場不變而撤去原有的磁場，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿x軸正方向射出后，將通過A點(diǎn)，已知A點(diǎn)的x軸坐標(biāo)數(shù)值為，求小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)電場力做功的功率。

Answer 1

解：（1）設(shè)所加電場場強(qiáng)大小為E₁，由于帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出在電場和磁場共存的區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以帶電小球受到的電場力必定與重力平衡，有qE₁=mg
解得
設(shè)帶電小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式
解得
帶電小球第一次通過z軸的z坐標(biāo)：z=－2R=－
（2）設(shè)所加電場場強(qiáng)大小為E₂，帶電小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所受重力mg、洛倫茲力qv₀B以及電場力qE₂三力合力為零
因洛倫茲力沿z軸的負(fù)方向，重力沿y軸的負(fù)方向
所以電場力
解得
（3）當(dāng)撤去磁場后，帶電小球只受電場力和重力作用，這兩個(gè)力的合力大小為qv₀B，方向指向Oz正方向，所以小球在平面做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
帶電小球沿Ox軸正方向以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間t=
帶電小球沿Oz軸正方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度大小
帶電小球到A點(diǎn)時(shí)沿Oz正方向的分速度大小為
因重力在這個(gè)過程中不做功，小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，電場力做功的功率等于合外力在此時(shí)的瞬時(shí)功率
解得P_A=qv₀Bv_z=