Question

11．天文學(xué)中把兩顆距離比較近，又與其它星體距離比較遠(yuǎn)的星體叫做雙星，雙星的間距是一定的．設(shè)雙星質(zhì)量分別是m₁、m₂，球心間距為L．則質(zhì)量為m₁星體的運行的周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$，速度是${m_2}\sqrt{\frac{G}{{（{m_1}+{m_2}）{L^\;}}}}$．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大��；據(jù)萬有引力提供向心力計算出周期；最后根據(jù)v=$\frac{2πr}{T}$求解線速度．

解答 解：設(shè)雙星中質(zhì)量為m₁的天體軌道半徑為r₁，質(zhì)量為m₂的天體軌道半徑為r₂
據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，得：
$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}{ω^2}{r_1}$…①
$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_2}{ω^2}{r_2}$…②
r₁+r₂=L…③
由①②③聯(lián)立解得：
${r_1}=\frac{{{m_2}L}}{{{m_1}+{m_2}}}$，
${r_2}=\frac{{{m_1}L}}{{{m_1}+{m_2}}}$，
再由：$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_1}$，得：
運行的周期：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{L^3}{{G（{m_1}+{m_2}）}}}$
質(zhì)量為m₁星體的線速度：${v}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{T}$=$\frac{{2π\(zhòng)frac{{{m_2}L}}{{{m_1}+{m_2}}}}}{{2π\(zhòng)sqrt{\frac{L^3}{{G（{m_1}+{m_2}）}}}}}={m_2}\sqrt{\frac{G}{{（{m_1}+{m_2}）{L^\;}}}}$
故答案為：$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$，${m_2}\sqrt{\frac{G}{{（{m_1}+{m_2}）{L^\;}}}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．