Question

13．我國(guó)已啟動(dòng)“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分別將“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”成功發(fā)射，“嫦娥三號(hào)”亦有望在2013年落月探測(cè)90天，并已給落月點(diǎn)起了一個(gè)富有詩(shī)意的名字--“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請(qǐng)求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬(wàn)有引力列式求解；
（2）先根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬(wàn)有引力列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：
G$\frac{M{M}_{月}}{R{′}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²R′
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：R′=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)題意得：
v₀=$\frac{{g}_{月}t}{2}$，
g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$
解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬(wàn)有引力，求得重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行列式求解．