Question

【題目】如圖甲所示，平行金屬板M、N水平放置，板長(zhǎng)L=m、板間距離d=0.20m。在豎直平面內(nèi)建立xOy直角坐標(biāo)系，使x軸與金屬板M、N的中線OO′重合，y軸緊靠?jī)山饘侔逵叶�。�?/span>y軸右側(cè)空間存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=5.0×10－3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，M、N板間加隨時(shí)間t按正弦規(guī)律變化的電壓uMN，如圖乙所示，圖中T0未知，兩板間電場(chǎng)可看作勻強(qiáng)電場(chǎng)，板外電場(chǎng)可忽略。比荷=1.0×107C/kg、帶正電的大量粒子以v0=1.0×105m/s的水平速度，從金屬板左端沿中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子從y軸上的 P、Q（圖中未畫岀，P為最高點(diǎn)、Q 為最低點(diǎn)）間離開磁場(chǎng)。在每個(gè)粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作恒定不變，忽略粒子重力，求：

(1) 進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t0及在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑r0；

(2) P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)yP、yQ；

(3) 若粒子到達(dá)Q點(diǎn)的同時(shí)有粒子到達(dá)P點(diǎn)，滿足此條件的電壓變化周期T0的最大值。

Answer 1

【答案】(1)3.46×10－6 s；2.0 m；(2) 4.1 m；3.9 m；(3) 2.51×10－4 s

【解析】

(1) 能從右側(cè)離開電場(chǎng)的帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

t0=

代入數(shù)據(jù)得t0=3.46×10－6 s

t=nT0（n=0、1、2……）時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有

qv0B=

代入數(shù)據(jù)解得r0=2.0 m

(2) 設(shè)兩板間電壓為U1時(shí)，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，則有

q=ma，d=at

代入數(shù)據(jù)解得U1=V

在電壓小于等于V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場(chǎng)，電壓大于V時(shí)，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出。帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，速度最大。

設(shè)粒子恰好射出電場(chǎng)時(shí)速度為v，方向與x軸的夾角為θ，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則

tan θ=，qvB=

弦長(zhǎng)

D=2rcos θ

代入數(shù)據(jù)解得

θ=30°

則有

D==4.0 m

從極板M邊緣射出的帶電粒子，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°，經(jīng)過P點(diǎn)，則

yP=＋D=4.1 m

從極板N邊緣射出的帶電粒子，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過240°，經(jīng)過Q點(diǎn)，則

yQ=D－=3.9 m

(3)帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=，粒子到達(dá)Q點(diǎn)的同時(shí)有粒子到達(dá)P點(diǎn)，則這兩個(gè)粒子開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差為，到達(dá)Q點(diǎn)的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)刻可能是、、、……到達(dá)P點(diǎn)的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)刻可能是、、、……，當(dāng)電壓變化周期T0有最大值Tm時(shí)應(yīng)滿足的關(guān)系

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解得

Tm=×10－4 s=2.51×10－4 s