Question

（2009?山東）如圖所示，某貨場而將質量為m₁=100kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物中軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8m．地面上緊靠軌道次排放兩個完全相同的木板A、B，長度均為L=2m，質量均為m₂=100kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）求：
（1）貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力；
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求μ₁應滿足的條件；
（3）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運動的時間．

Answer 1

分析：（1）物體下滑的過程中，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒可以得出到達底端時的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大�。�
（2）貨物滑上木板A時，木板不動，說明此時貨物對木板的摩擦力小于地面對木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時，木板B開始滑動，說明此時貨物對木板的摩擦力大于了地面對貨物的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)的范圍．
（3）當μ₁=0.5時，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動，貨物做的是勻減速直線運動，位移是木板的長度L，由勻變速直線運動的規(guī)律可以求得．

解答：解：（1）設貨物滑到圓軌道末端是的速度為V₀，對貨物的下滑過程中根據(jù)機械能守恒定律得，
   mgR=

1

2

m₁V₀²       ①
設貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)_N-m₁g=m₁

V 2 0

R

     ②
聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得，F(xiàn)_N=3000N   ③
根據(jù)牛頓第三定律，貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小為3000N，方向豎直向下．
（2）若滑上木板A時，木板不動，由受力分析得μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂ ）g           ④
若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂ ）g           ⑤
聯(lián)立④⑤式代入數(shù)據(jù)得0.4＜μ₁≤0.6       ⑥．
（3）當μ₁=0.5時，由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動．
設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為a₁，
由牛頓第二定律得 μ₁m₁g≤m₁a₁ ⑦
設貨物滑到木板A末端是的速度為V₁，由運動學公式得V₁²-V₀²=-2a₁L       ⑧
聯(lián)立①⑦⑧式代入數(shù)據(jù)得  V₁=4m/s     ⑨
設在木板A上運動的時間為t，由運動學公式得  V₁=V₀-a₁t       ⑩
聯(lián)立①⑦⑨⑩式代入數(shù)據(jù)得  t=0.4s．
答：（1）貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力是3000N；
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，μ₁應滿足的條件是0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運動的時間是0.4s．

點評：本題考查了機械能守恒、圓周運動和牛頓運動定律的應用，特別需要注意的是貨物在水平面上運動時木板的運動狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運到到不同的地方時木板的受力不一樣．