Question

14．如圖所示，一軌道半徑為R的$\frac{3}{4}$光滑圓軌道ABC，固定在豎直平面內(nèi)，OA水平，OC豎直，在A點(diǎn)正上方某位置處有一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由靜止開始自由下落，剛好從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)且恰好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球經(jīng)過最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小；
（2）小球開始下落時(shí)離A點(diǎn)的高度；
（3）小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C，說明在C點(diǎn)重力提供向心力，可利用向心力公式列式求解；
（2）求得C點(diǎn)的速度后，小球從B到C的過程中，利用動(dòng)能定理可求小球下落至B點(diǎn)時(shí)的速度，然后利用機(jī)械能守恒求下落點(diǎn)到A點(diǎn)的高度；
（3）經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)，支持力和重力的合力提供向心力，利用牛頓第運(yùn)動(dòng)定律可求解．

解答 解：（1）小球到達(dá)軌道的最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，則：
$mg=\frac{{{mv}_{C}}^{2}}{R}$
解之得，${v}_{C}=\sqrt{gR}$
（2）小球從B到C的過程，由動(dòng)能定理，
$-mg•2R=\frac{1}{2}{{mv}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}{{mv}_{B}}^{2}$
設(shè)小球下落時(shí)離A點(diǎn)的高度為H，則小球從落點(diǎn)到B的過程，由機(jī)械能守恒，
$mg（H+R）=\frac{1}{2}{{mv}_{B}}^{2}$
以上兩式聯(lián)立得，$h=\frac{3}{2}R$，${v}_{B}=\sqrt{5gR}$
（3）小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)，
$F-mg=\frac{{{mv}_{B}}^{2}}{R}$
解之得，F(xiàn)=6mg
由牛頓第三定律知小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)對軌道的壓力，F(xiàn)′=F=6mg．
答：（1）小球經(jīng)過最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）小球開始下落時(shí)離A點(diǎn)的高度為$\frac{3}{2}R$；
（3）小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)對軌道的壓力為6mg．

點(diǎn)評 求小球在最高點(diǎn)的速度關(guān)鍵是要找出臨界條件，同時(shí)要知道機(jī)械能守恒定律的條件是只有重力或彈力做功，而用動(dòng)能定理解題是解決力學(xué)問題的優(yōu)先選擇．