Question

（2009?深圳一模）如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上固定一光滑金屬導(dǎo)軌CDEFG，圖中OH∥CD∥FG，∠DEF=60°，CD=DE=EF=FG=OE=L；一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為2L的導(dǎo)體棒AB在電機(jī)牽引下，以恒定速度v₀沿OH方向從斜面底端滑上導(dǎo)軌并到達(dá)斜面頂端，O是AB棒的中點(diǎn)，AB⊥OH．金屬導(dǎo)軌的CD、FG段電阻不計(jì)，DEF段與AB棒材料與橫截面積均相同，單位長(zhǎng)度的電阻均為r，整個(gè)斜面處在垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．求：
（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌DEF上滑動(dòng)時(shí)電路中電流的大小；
（2）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到DF位置時(shí)AB兩端的電壓；
（3）將導(dǎo)體棒從底端拉到斜面頂端過程電機(jī)對(duì)桿做的功．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式得出電動(dòng)勢(shì)與有效長(zhǎng)度的關(guān)系，由題意得到電阻與有效長(zhǎng)度的關(guān)系，根據(jù)歐姆定律得到導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌DEF上滑動(dòng)時(shí)電路中電流的大��；
（2）AB兩端的電壓等于AD、DF、FB三段感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和．AD、FB兩段電壓等于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．DF段根據(jù)電壓分配求出．
（3）根據(jù)功能關(guān)系可知，導(dǎo)體棒從底端拉到斜面頂端過程電機(jī)對(duì)桿做的功等于導(dǎo)體棒增加的重力勢(shì)能與電路產(chǎn)生的熱量之和．AB棒在DEF上滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電熱Q₁，數(shù)值上等于克服安培力做的功．

解答：解：（1）設(shè)AB棒等效切割長(zhǎng)度為l，則
        感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Blv₀                                                 
        回路電阻為R=3lr
       回路電流為I=

E

R

=

Bv0

3r

                                                  
    （2）AB棒滑到DF處時(shí)
      AB兩端的電壓U_BA=U_DA+U_FD+U_BF
         U_DA+U_BF=BLv₀
         而U_DF=

2lr

3lr

BLv0=

2

3

BLv0                                                        
       得U_BA=U_DA+U_FD+U_BF=

5

3

BLv0
    （3）導(dǎo)體棒重力勢(shì)能的增加量△E_P=mg（2L+Lcos30°）sin30°=

4+ 3

4

mgL                              
     AB棒在DEF上滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電熱Q₁，數(shù)值上等于克服安培力做的功Q₁=W_安   
        又因?yàn)镕安∝S，如圖，故 Q₁=W_安=

0+F安max

2

?

3

2

L=

3 B2L2v0

12r

    AB棒在CDFG導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電熱Q₂，電流恒定，電阻不變
        則Q₂=I²Rt=（

Bv0

3r

）²?3Lr?

L

v0

=

B2L2v0

3r

 得，電機(jī)做的功W=△E_P+Q₁+Q₂=

4+ 3

4

(mgL+

B2L2v0

3r

)   
答：（1）導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌DEF上滑動(dòng)時(shí)電路中電流的大小為流為

Bv0

3r

；  
     （2）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到DF位置時(shí)AB兩端的電壓為

5

3

BLv0；
     （3）將導(dǎo)體棒從底端拉到斜面頂端過程電機(jī)對(duì)桿做的功是

4+ 3

4

(mgL+

B2L2v0

3r

)．

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于求AB棒在DEF上滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電熱，根據(jù)導(dǎo)體棒克服安培力做功求解．容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩處：一是求AB的電壓只考慮DF段電壓．二是AB棒在DEF上滑動(dòng)的距離當(dāng)作Lsin30°．