Question

3．如圖1所示，豎直放置的光滑圓軌道半徑為R，A、B為圓軌道內(nèi)表面的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，在A、B兩位置裝有壓力傳感器，可以測量小球經(jīng)過該位置時(shí)對(duì)軌道的壓力F．一質(zhì)量為m的小球置于軌道最低點(diǎn)A處，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v，使其沿圓軌道運(yùn)動(dòng)；改變小球的初速度v的大小，測量小球在A、B位置對(duì)軌道壓力F_A、F_B（C、D選項(xiàng)中為小球第1次經(jīng)過B時(shí)）的大小，根據(jù)測量數(shù)據(jù)描繪出相應(yīng)的F-v²圖象為相互平行的直線，如圖2所示．重力加速度為g，則（　�。�

• A． 圖象中v₀=$\sqrt{5gR}$
• B． 圖象中F₀的數(shù)值為4mg
• C． 若圓軌道不光滑，F(xiàn)₀=7mg，則按圖中F₀所表示的對(duì)應(yīng)過程從A點(diǎn)經(jīng)過半個(gè)圓周到達(dá)B點(diǎn)，小球克服摩擦力做功0.5mgR
• D． 若圓軌道不光滑，但假設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的各處時(shí)摩擦力大小與速度無關(guān)，則上述兩條F-v²圖象依然平行

Answer 1

分析 小球經(jīng)過A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)，由合力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律列出F_A和F_B與v的關(guān)系式，再結(jié)合圖象信息解答．

解答 解：A、小球做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
在A點(diǎn)，有：F_A-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 F_A=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg…①
則F_A-v²圖線的斜率為$\frac{m}{R}$．
在B點(diǎn)，有：F_B+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…②
從A到B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv²…③
聯(lián)立①②③得：F_B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-5mg…④
則F_B-v²圖線的斜率為$\frac{m}{R}$．
由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，兩圖象平行．
當(dāng)F_B=0時(shí)，由④得：m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$=5mg，v=$\sqrt{5gR}$，即得v₀=$\sqrt{5gR}$，故A正確．
B、當(dāng)F_B=0時(shí)，v=$\sqrt{5gR}$，代入①得：F_A=6mg，因此圖象中F₀的數(shù)值為6mg．故B錯(cuò)誤．
C、若圓軌道不光滑，F(xiàn)₀=7mg，此時(shí)小球恰好到達(dá)B點(diǎn)，在A點(diǎn)有：7mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{6gR}$
在B點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
從A到B的過程，由動(dòng)能定理得：-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得，小球克服摩擦力做功 W_f=0.5mgR，故C正確．
D、若圓軌道不光滑，且小球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的各處時(shí)摩擦力大小與速度無關(guān)，③、④式仍成立，可知兩圖象仍平行，故D正確．
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 要研究圖象的物理意義，關(guān)鍵要根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再通過研究圖象的數(shù)學(xué)意義來研究其物理意義．