Question

12．如圖所示，固定斜面的傾角θ=30°，物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)上端位于C點(diǎn)．用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)輕質(zhì)光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側(cè)繩子與斜面平行，A的質(zhì)量為2m，B的質(zhì)量為m．一初始時(shí)物體A到C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)．現(xiàn)給A、B一初速度v₀使A開(kāi)始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到起始點(diǎn)．已知重力加速度為，不計(jì)空氣阻力，整個(gè)過(guò)程中，輕繩始終處于伸直狀態(tài)．求此過(guò)程中：
（1）物體A向下運(yùn)動(dòng)剛到C點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）整個(gè)過(guò)程物體A經(jīng)過(guò)的路程；
（3）彈簧中的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）物體A向下運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，A的重力勢(shì)能及AB的動(dòng)能都減小，轉(zhuǎn)化為B的重力勢(shì)能和摩擦生熱，根據(jù)能量守恒定律列式求出物體A向下運(yùn)動(dòng)剛到C點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）根據(jù)功能關(guān)系即可求出物體A經(jīng)過(guò)的路程；
（3）從物體A接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后回到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧的彈力和重力做功都為零，根據(jù)動(dòng)能定理求出彈簧的最大壓縮量；彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律求解彈簧中的最大彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）A和斜面間的滑動(dòng)摩擦力大小為 f=2μmgcosθ，物體A向下運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)功能關(guān)系有：
 2mgLsinθ+$\frac{1}{2}$•3mv₀²=$\frac{1}{2}$•3mv²+mgL+fL，
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2\sqrt{3}μgL}{3}}$．
（2）整個(gè)的過(guò)程中系統(tǒng)減小的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以有物體A經(jīng)過(guò)的路程：
-f•x=0-$\frac{1}{2}•$3mv₀²
解得：x=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{2μg}$．
（3）從物體A接觸彈簧，將彈簧壓縮到最短后又恰回到C點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理，有：
-f•2x′=0-$\frac{1}{2}•$3mv²，
解得：x′=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4μg}$-$\frac{L}{2}$．
彈簧從壓縮最短到恰好能彈到C點(diǎn)的過(guò)程中，對(duì)系統(tǒng)根據(jù)能量關(guān)系有：
E_p+mgx′=2mgx′sinθ+fx′
因?yàn)閙gx′=2mgx′sinθ
所以有：E_p=fx′=$\frac{3}{4}$mv₀²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$μmgL
答：（1）物體向下運(yùn)動(dòng)剛到C點(diǎn)時(shí)的速度是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2\sqrt{3}μgL}{3}}$．
（2）整個(gè)過(guò)程物體A經(jīng)過(guò)的路程是$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{2μg}$．
（3）彈簧中的最大彈性勢(shì)能是$\frac{3}{4}$mv₀²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$μmgL．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是搞清能量如何轉(zhuǎn)化的，可以先分清在物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中涉及幾種形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量減小，再判斷能量如何轉(zhuǎn)化．