Question

4．宇航員在某一星球表面以一定的初速度豎直上拋一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t落回拋出點(diǎn)；然后宇航員又在某高點(diǎn)h處，以相同的速度大小沿水平方向拋出一個(gè)小球，小球落到星球表面，測(cè)出拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的水平距離為L(zhǎng)，已知該星球的質(zhì)量M，萬有引力常數(shù)為G，求：
（1）該星球的半徑R．  
（2）該星球上的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球豎直上拋運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力與重力相等求得該星球的半徑；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得該星球上的第一宇宙速度．

解答 解：（1）令小球上拋的初速度為v，則根據(jù)豎直上拋有：
$\frac{2v}{g}=t$      ①
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
$v\sqrt{\frac{2h}{g}}=L$      ②
由①②兩式解得，g=$\frac{2{L}^{2}}{h{t}^{2}}$
又在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球半徑R=$\sqrt{\frac{GM}{g}}$=$\sqrt{\frac{GM}{\frac{2{L}^{2}}{h{t}^{2}}}}$=$\frac{t}{L}\sqrt{\frac{GMh}{2}}$
（2）第一宇宙速度為近星航天器的運(yùn)行速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{L}^{2}}{h{t}^{2}}•\frac{t}{L}\sqrt{\frac{GMh}{2}}}$=$\sqrt{\frac{2L}{t}\sqrt{\frac{GM}{2h}}}$
答：（1）該星球的半徑R為$\frac{t}{L}\sqrt{\frac{GMh}{2}}$．  
（2）該星球上的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2L}{t}\sqrt{\frac{GM}{2h}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此問題的關(guān)鍵入手點(diǎn)是在星球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，難在與豎直上拋運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，考查知識(shí)點(diǎn)較多．