Question

在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一條與電場(chǎng)線平行的幾何線，如圖中虛線所示．幾何線上有兩個(gè)靜止的小球A和B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），兩小球的質(zhì)量均為m，A球帶電荷量+Q，B球不帶電．開(kāi)始時(shí)兩球相距L，在電場(chǎng)力的作用下，A球開(kāi)始沿直線運(yùn)動(dòng)，并與B球發(fā)生正對(duì)碰撞，碰撞中A、B兩球的總動(dòng)能無(wú)損失．設(shè)在各次碰撞過(guò)程中，A、B兩球間無(wú)電量轉(zhuǎn)移，且不考慮重力及兩球間的萬(wàn)有引力．問(wèn)：
（1）A球經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與B球發(fā)生第一次碰撞？
（2）第一次碰撞后，A、B兩球的速度各為多大？
（3）請(qǐng)猜測(cè)在以后A、B兩球再次不斷地碰撞的時(shí)間間隔會(huì)相等嗎？并對(duì)猜測(cè)的結(jié)論進(jìn)行論證．如果相等，請(qǐng)計(jì)算出時(shí)間間隔T，如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)小球A進(jìn)行研究，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求解
（2）由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列出等式求解
（3）第二次碰撞后，分析物體的運(yùn)動(dòng)，由位移關(guān)系求解．

解答：解：（1）對(duì)小球A進(jìn)行研究，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式有，
QE=ma①
L=

1

2

at² ②
解①②得t=

2ml QE

③
（2）由動(dòng)量守恒得，mv=mv₁+mv₂ ④
又由碰撞的過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，得

1

2

mv²=

1

2

mv₁²+

1

2

mv₂²，⑤
其中v₁為A碰撞后的速度，v₂為B碰撞后的速度  
解④⑤得，v₁=0，v₂=v  ⑥
又由動(dòng)能定理，

1

2

mv²=QEL   ⑦
故v₁=0，v₂=

2QEL m

⑧
（3）由（2）可知，A、B兩球碰后速度交換，
故

1

2

at₂²=v₂t₂，
∴t₂=

2v2

a

，
第二次碰撞后A球速度為v₂，B球速度為v₃，所以v₃=at₂=2v₂，
由位移關(guān)系得v₂t₃+

1

2

at₃²=v₃t₃，
∴t₃=

2v2

a

，⑨
依此類推，得v_n-1t_n+

1

2

at_n²=v_nt_n，
得t_n=

2v2

a

，所以T=

2v2

a

=2

2ml QE

，故間隔相等．
答：（1）A球經(jīng)過(guò)

2ml QE

時(shí)間與B球發(fā)生第一次碰撞．
（2）第一次碰撞后，A、B兩球的速度各為v₁=0，v₂=

2QEL m

．
（3）A、B兩球再次不斷地碰撞的時(shí)間間隔相等．

點(diǎn)評(píng)：本題以帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為核心命題，考查了電場(chǎng)力做功、動(dòng)量守恒、動(dòng)能定理和利用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力等．解題的難點(diǎn)在于猜測(cè)碰撞的時(shí)間間隔是否相等，然后利用不完全歸納的方法得出結(jié)論．當(dāng)然還可以利用圖象來(lái)計(jì)算出時(shí)間間隔．解決時(shí)關(guān)鍵點(diǎn)在于二者碰撞的過(guò)程中位移相等．