Question

19．如圖所示，BCPC′D是由半徑為R的圓軌道CPC′與半徑為2R的BD圓弧軌道相切于C（C′）點構成的豎直螺旋軌道（類似于游樂園過山車的形狀），C、C′間距離可以忽略．PB與豎直徑成37°角，軌道光滑，質量為m的小球在B點以一定的初速度沿軌道向下運動，已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）要使小球能通過軌道最高點P點，小球初速度應滿足什么條件？（計算結果可以用根式表示）
（2）若小球恰好能完成豎直圓周運動的情況下，小球在經過C點時，在C點左右兩邊對軌道的壓力之差．（在C點左右兩邊相當于分別在兩個圓周上過最低點）

Answer 1

分析 （1）先求出使小球剛好能通過軌道最高點P點的速度，即在P點，剛好由重力提供向心力，據此列式求出P點最小速度，再由B到P由動能定理求出小球初速度的最小值．
（2）分別在兩個軌道上，根據向心力公式求出壓力，再求出壓力差即可．

解答 解：（1）要使小球通過P點，$mg+{F}_{N}=m\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R}$，
當F_N=0時v_P最小，
最小值${v}_{Pmin}=\sqrt{gR}$
由B到P由動能定理知$\frac{1}{2}m{v}_{Pmin}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=-mg×2Rcos37°$
解得${v}_{0}=\sqrt{4.2gR}$，則小球初速度應滿足${v}_{0}≥\sqrt{4.2gR}$，
（2）小球在經過C點時，在C點左右兩邊相當于分別在兩個圓周上過最低點，在左邊軌道${N_1}-mg=m\frac{v^2}{2R}$
在右邊軌道${N_2}-mg=m\frac{v^2}{R}$，
小球恰好經過P點的速度${v}_{P}=\sqrt{gR}$，
由C到P由動能定理知$\frac{1}{2}mv_P^2-\frac{1}{2}mv_{\;}^2=-mg×2R$，
聯立解得：${N_2}-{N_1}=m\frac{v^2}{2R}=\frac{5}{2}mg$
答：（1）要使小球能通過軌道最高點P點，小球初速度應滿足${v}_{0}≥\sqrt{4.2gR}$；
（2）若小球恰好能完成豎直圓周運動的情況下，小球在經過C點時，在C點左右兩邊對軌道的壓力之差為$\frac{5}{2}mg$．

點評 本題是復雜的力學問題，對于圓周運動，分析向心力的來源是關鍵，知恰好經過最高點的條件，要具有解決綜合問題的能力，需要加強這方面的練習．