(2013?廈門一模)如圖所示,MN為兩平行金屬板,O、O為兩金屬板中心處正對(duì)的兩個(gè)小孔,N板的右側(cè)空間有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B且方向相反的兩勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū),圖中N板與虛線CD、PQ為兩磁場(chǎng)邊界線,三條界線平行,兩磁場(chǎng)區(qū)域的寬度分別為d和3d,沿邊界線方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠大.在兩金屬板上加上大小可調(diào)節(jié)的直流電壓,質(zhì)量為m、電量為-q的帶電粒子(重力不計(jì));從O點(diǎn)由靜止釋放,經(jīng)過MN板間的電場(chǎng)加速后,從O'沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),若粒子能穿過CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場(chǎng)但不能穿過PQ界,最終打到N板而結(jié)束運(yùn)動(dòng),試求:
(1)粒子要能穿過CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場(chǎng),MN板間的電壓至少要大于多少;
(2)粒子不穿過PQ界,粒子從O射入磁場(chǎng)所允許的最大速率;
(3)最大速率射入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間.
分析:先由動(dòng)能定理求出加速場(chǎng)中加速后獲得的速度的表達(dá)式;由幾何關(guān)系確定半徑然后由根據(jù)牛頓第二定律列方程;
先畫出粒子在右邊磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡,相切時(shí)為臨界情況,由幾何關(guān)系確定半徑,然后求得速度v;
確定出粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角,然后根據(jù)周期公式求運(yùn)動(dòng)時(shí)間.
解答:解:(1)設(shè)MN間電壓為U0時(shí),若粒子在CD左側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧與CD界相切,如圖甲,
粒子經(jīng)電場(chǎng)加速:qU0=
1
2
mv02
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓周半徑:r0=d
qBv0=m
v02
r0

由上述得:U0=
qB2d2
2m

粒子要穿過C界,電壓應(yīng)大于:
qB2d2
2m

(2)設(shè)粒子射入磁場(chǎng)速度為v時(shí),粒子在CD左側(cè)軌跡圓心為O1,右側(cè)軌跡圓心為O2且圓弧與PQ相切,恰好不射出PQ界,
如圖乙,
有:左右兩圓周半徑相同,均為r=2d
qBv=
mv2
r

得:v=
2qBd
m

(3)由圖得圓弧圓心角為θ=
π
6
,α=
3

粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期:T=
2πr
v
=
2πm
qB

粒子經(jīng)過三段圓弧運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為:
t1=t3=
θ
T
t2=
α
T
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間:t=t1+t2+t3=
5πm
3qB

答:(1)粒子要能穿過CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場(chǎng),MN板間的電壓至少要大于:
qB2d2
2m
;
(2)粒子不穿過PQ界,粒子從O射入磁場(chǎng)所允許的最大速率為
2qBd
m

(3)最大速率射入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為
5πm
3qB
點(diǎn)評(píng):本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng),關(guān)鍵是能畫出臨界情況的運(yùn)動(dòng)軌跡.
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