Question

18．某裝置用磁場控制帶電粒子的運動，工作原理圖如圖所示．裝置的長L=2$\sqrt{3}d$，上下兩個相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小相同、方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d，裝置右端有一收集板，N、P為板上的兩點，N、P分別位于下方磁場的上、下邊界上．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子靜止在A處，經(jīng)加速電場加速后，以速度v₀沿圖中的虛線從裝置左端的中點O射入，方向與軸線成60°角．可以通過改變上下矩形區(qū)域內(nèi)的磁場強弱（兩磁場始終大小相同、方向相反），控制粒子到達收集板上的位置．不計粒子的重力．
（1）試求出加速電壓U的大��；
（2）若粒子只經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次，恰好到達收集板上的P點，求磁場區(qū)域的寬度h；
（3）欲使粒子經(jīng)過上下兩磁場并到達收集板上的N點，磁感應(yīng)強度有多個可能的值，試求出其中的最小值B．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中加速，應(yīng)用動能定理可以求出加速電壓．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，作出粒子運動軌跡，然后應(yīng)用幾何知識求出磁場區(qū)域的寬度h．
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，作出粒子運動軌跡應(yīng)用幾何知識求出粒子的軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強度．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，由動能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）設(shè)帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑為r，依題意作出帶電粒子的運動軌跡如下圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：L=3rsin60°+3×$\frac{\fracqaqgfbv{2}}{tan60°}$，
h=r（1-cos60°），
解得：h=$\frac{1}{2}$d；
（3）當(dāng)B為最小值時，粒子運動的軌道半徑r則為最大值，即粒子只經(jīng)過上方和下方的磁場區(qū)域各一次，
恰好到達收集板上的N點．設(shè)帶電粒子此時運動的軌道半徑為r′，帶電粒子的運動軌跡如下圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：L=4r′sin60°+3×$\frac{\frackoh2pwg{2}}{tan60°}$，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r′}$，
解得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$；
答：（1）加速電壓U的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）磁場區(qū)域的寬度h為$\frac{1}{2}$d；
（3）最小值B為$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程、作出粒子運動軌跡是解題的前提，在解題時要注意認(rèn)真審題，明確題意才能準(zhǔn)確利用洛侖茲力充當(dāng)向心力及幾何關(guān)系進行求解．