Question

6．如圖所示，邊長L=0.3m、匝數(shù)n=100、阻值為r₀=2Ω的不可形變的正方形導(dǎo)線框內(nèi)有半徑為r=0.1m的圓形磁場區(qū)域，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t的變化關(guān)系為B=4t．定值電阻R₁=2Ω、R₂=2Ω．直流電動機(jī)線圈內(nèi)阻為r₁=1Ω，通過輕質(zhì)絕緣細(xì)繩向上拉動右側(cè)導(dǎo)體棒ab，導(dǎo)體棒質(zhì)量為m=0.792kg，有效長度為l₁=0.2m，電阻為r₂=2Ω．右側(cè)拉繩系于棒中點，且平行于足夠長傾斜導(dǎo)軌平面，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30°，導(dǎo)軌平面處于垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=2T．閉合開關(guān)S，電壓表的示數(shù)為U=4V．不考慮虛線MN左側(cè)磁場變化對右側(cè)導(dǎo)體的感應(yīng)電動勢，細(xì)繩與定滑輪、棒與導(dǎo)軌之間的摩擦不計，不計導(dǎo)軌及其余導(dǎo)線的電阻．取π≈3，g=10m/s²．則求：

（1）電動機(jī)的輸出功率．
（2）導(dǎo)體棒ab運動的最大速度．
（3）如果導(dǎo)體棒ab從靜止開始運動，經(jīng)t=3s達(dá)到最大速度，在此過程中通過導(dǎo)體棒ab的電量為q=0.2C，則求出定值電阻R₂產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）正方形導(dǎo)線框內(nèi)磁場均勻變化，產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動勢，由法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動勢，由電壓表讀數(shù)和R₁=2Ω結(jié)合求出通過電動機(jī)的電流，由閉合電路歐姆定律求出電動機(jī)的電壓，從而得到電動機(jī)消耗的總功率和熱功率，即可得到電動機(jī)的輸出功率．
（2）導(dǎo)體棒ab勻速運動時速度達(dá)到最大，根據(jù)力平衡列式，并由電動機(jī)的輸出功率等于細(xì)繩的拉力與速度的乘積列式，聯(lián)立可得ab運動的最大速度．
（3）根據(jù)q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$求出ab棒運動的距離，再由能量守恒求定值電阻R₂產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：（1）由B=4tT得：$\frac{△B}{△t}$=4T/s
正方形導(dǎo)線框產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動勢為：E=n$\frac{△B}{△t}$•πr²≈100×4×3×0.1²=12V
通過電動機(jī)的電流為：I=$\frac{U}{{R}_{1}}$=$\frac{4}{2}$A=2A
電動機(jī)兩端的電壓為：U_M=E-I（r₀+R₁）=12-2×（2+2）=4V
故電動機(jī)的輸出功率為：P_出=U_MI-I²r₁=4×2-2²×1=4W
（2）導(dǎo)體棒ab勻速運動時速度達(dá)到最大，設(shè)導(dǎo)體棒ab運動的最大速度為v，此時細(xì)繩的拉力為F．則有：
P_出=Fv
根據(jù)平衡條件有：F=mgsin30°+BI′l₁=mgsin30°+B₀$\frac{{B}_{0}{l}_{1}v}{{R}_{1}+{R}_{2}}$l₁
代入數(shù)據(jù)解得：v=1m/s
（3）設(shè)導(dǎo)體棒ab從靜止到速度最大時通過的位移大小為x．根據(jù)q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}t}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{{B}_{0}{l}_{1}\overline{v}t}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{{B}_{0}{l}_{1}x}{{R}_{1}+{R}_{2}}$得：
x=$\frac{q（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}_{0}{l}_{1}}$=$\frac{0.2×4}{2×0.2}$=2m
根據(jù)能量守恒定律得：P_出t=mgxsin30°+2Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：Q=1.842J
答：（1）電動機(jī)的輸出功率是4W．
（2）導(dǎo)體棒ab運動的最大速度是1m/s．
（3）定值電阻R₂產(chǎn)生的焦耳熱Q是1.842J．

點評 本題是非純電阻電路與電磁感應(yīng)的綜合，要明確電動機(jī)正常工作時其電路是非純電阻電路，不能根據(jù)歐姆定律求電路中電流．對于導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運動時，明確導(dǎo)體棒勻速運動時速度達(dá)到最大，受力平衡，并明確電路中能量是如何轉(zhuǎn)化的，由能量守恒求焦耳熱．