Question

已知物體從地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v₂=,其中G、M、R分別是引力常量、地球的質(zhì)量和半徑.已知G=6.67×10^-11 N·m²/kg²,c=2.997 9×10⁸ m/s.求:

(1)逃逸速度大于真空中光速c的天體叫做黑洞,設(shè)某黑洞的質(zhì)量等于太陽(yáng)的質(zhì)量1.98×10³⁰ kg.求它的可能最大半徑(這個(gè)半徑叫SchwarZchild半徑);

(2)在目前天文觀測(cè)范圍內(nèi),物質(zhì)的平均密度為10^-27 kg/m³.如果認(rèn)為我們的宇宙是這樣的一個(gè)均勻大球體,其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的光速c,因此任何物體都不脫離宇宙,問宇宙的半徑至少多大?

Answer 1

解析：(1)由題目提供的地球的逃逸速度可以推知,任何天體(包括黑洞)均存在其對(duì)應(yīng)的逃逸速度v₂=,其中G為引力常量,M、R分別為天體的質(zhì)量和半徑.對(duì)于黑洞模型,其逃逸速度大于真空中的光速c,即v₂=＞c

    所以其最大可能半徑R＜

    將G=6.67×10^-11 N·m²/kg,M=1.98×10³⁰ kg,c=2.997 9×10⁸ m/s,代入上式計(jì)算得R=2.94×10³ m.

(2)把宇宙看作一個(gè)特殊的均勻大球體,設(shè)其密度為ρ,其半徑為R,則其質(zhì)量為M=ρ·πR³

    對(duì)應(yīng)的逃逸速度為v₂=

    由于宇宙的密度ρ=10^-27 kg/m³,使得其逃逸速度大于光速c,即v₂＞c

    以上三式聯(lián)立可得

    R＞

    =

    =4.01×10²⁶ m=4.24×10¹⁰光年.

    即宇宙的半徑至少為4.24×10¹⁰光年.

答案：(1)2.94×10³ m

(2)4.24×10¹⁰光年