Question

19．如圖所示，在矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在ad邊中點(diǎn)O的粒子源，在t=0時(shí)刻垂直于磁場發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t₀時(shí)刻剛好從磁場邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場，ab=1.5L，bc=$\sqrt{3}$L，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=L，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，求：
（1）粒子帶電的電性和粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期T；
（2）粒子的比荷；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由粒子沿Od方向發(fā)射從磁場邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場，說明粒子受向右的洛倫茲力向右偏，由左手定則知粒子帶正電荷，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求解偏轉(zhuǎn)角，根據(jù)角度和時(shí)間關(guān)系求解周期；
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得：$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$和T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$知比荷；
（3）畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，弦最長為2L，找到對(duì)應(yīng)的最大圓心角，從而知最長時(shí)間．

解答 解：（1）由粒子沿Od方向發(fā)射從磁場邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場，說明粒子受向右的洛倫茲力向右偏，由左手定則知粒子帶正電荷       
初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1，其圓心為θ，
由幾何關(guān)系有：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：θ=60°
$\frac{{t}_{0}}{T}$=$\frac{θ}{360°}$
解得：T=6t₀                                 
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得：
$q{v_0}B=m\frac{{{v_0}^2}}{r}$

T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
帶電微粒在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為$T=\frac{2πm}{qB}$
聯(lián)立以上式子解得$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{3{B}_{0}{t}_{0}}$
（3）如圖2所示，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子的軌跡的弦Ob=$\sqrt{3}$L，圓軌跡的直徑為2L，所以：Ob弦對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間  t_max=$\frac{T}{3}$=2t₀          
答：（1）粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期T為6t₀；
（2）粒子的比荷為$\frac{π}{3B{t}_{0}}$；
（3）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為2t₀．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析和處理粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡問題，難點(diǎn)在于分析時(shí)間的最大值，也可以運(yùn)用極限分析法分析．