Question

如圖所示，位于豎直平面上的

1

4

圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，圓弧軌道上端A點(diǎn)距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)靜止釋放，最后落在地面C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力多大？
（2）小球落地點(diǎn)C與B的水平距離S為多少？
（3）比值

R

H

為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B水平距離S最遠(yuǎn)？該水平距離的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）小球由A→B過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解；
（3）利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析水平位移的表達(dá)式即可求解水平位移的最大值．

解答：解：（1）小球沿圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)由牛頓第二定律，有：NB-mg=m

vB2

R

；
從A到B，以B點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，有：mgR=

1

2

mvB2，
由以上兩式得：N_B=3mg；
（2）小球離開(kāi)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，拋出點(diǎn)高為H-R，有：H-R=

1

2

gt2，
s=v_Bt，
vB=

2gR

，
解得：s=

4HR-4R2

=

H2-(2R-H)2

．
（3）由（2）可知，當(dāng)2R=H時(shí)，即

R

H

=

1

2

時(shí)，S有最大值，
即s_max=H；
答：
（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力為3mg．
（2）小球落地點(diǎn)C與B的水平距離S為

H2-(2R-H)2

．
（3）比值

R

H

為

1

2

時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B水平距離S最遠(yuǎn)，該水平距離的最大值是H．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵對(duì)兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析清楚，然后選擇機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式求解．考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力．